清华考研数学2009-36-2.pdfVIP

2008 年 水木艾迪考研辅导班 考研数学三十六技 清华大学数学科学系 刘坤林 考研数学三十六技 微积分上 清华大学 数学科学系 刘坤林主讲 三十六技之二：正确运用极限性质 分式极限是重点，性质运用是保证，谨慎处理广义用，穿过险滩是成功。 巧用极限的保序性、有界性与唯一性，正确快速运用极限运算法则。 极限的保序性是极限的重要性质之一，由极限的保序性可以得到许多相关重要性质，例 如：由导数的正负号决定的函数局部比较性质，连续函数的保号性质，积分的保序性、积 分估值定理与比较性质等等，而这些知识点通通为重要考点。掌握了极限的保序性概念， 会一通百通，否则，对许多问题的处理，都会有困惑。 ln(1 ( )) f +x 2 1 x ′ 例 2-1 设 ，f(0) 存在,当x 0 时 ， , (0) f 0 ( f) x 0 lim[1 + ] e x →0 sin x 则 ′ （ ）。 f(0) 2 2 (A) 0 。 (B) − 。 (C) 。 (D) e 。 2 2 ln(1 ( )) f +x 2 1 【解】 答案：(C)。 由 x 得到(复合极限定理)， lim[1 + ] e x →0 sin x 1 ln(1 ( )) f +x 2 f( )x 2 1 lim ⋅ lim ,(不可用洛必达法则！) 2 x →0 x sin x x →0 x 2 因为 ′ 存在, 所以又有 f(0) f x f x ′ 2 ( ) ( ) 1 f ， [ (0)] =⋅ lim lim x →0 x x →0 x 2 f x 2