极限的求法2.docVIP

极限的求法 方法一：直接代值法。 例一：求 令x=1代入原式中。 解： == 例二：求 解：= 从上面两个例子可以看出，求有理整函数（多项式）或有理分式函数当的极限时，只要把代替函数中的x就可以了；但是对于有理分式函数，这样代入后如果分母等于零，则没有意义。直接代值法不可用时，可以考虑因式分解法，分子（分母）有理化法等。 方法二：因式分解法。 例一：求 当时，分子及分母极限均为0，分子，分母不能分别取极限，因为当分子分母取x=3时分子分母值为0。此时可使用因式分解法，可消去这个不为0的公因子。 解：= 方法三：利用无穷大与无穷小的关系。 例一：求 因为分母极限不可用直接代值法，也不可用因式分解法 所以此题要根据无穷大与无穷小的关系解此题。 解：= 由此可知= 定理：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x) ，则为无穷大。 例二 求 所以= 例三：求 总结：由以上三个例题可以得出这样的结论：即 当n=m; 当nm; 当nm; 方法四：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 例一：求 解：=0 因为sinx在-1与1之间震荡，-1与1为其上界和下界，所以sinx为有界函数，而x是无穷的，所以则为无穷小，根据定理即可计算为0； 例二： 解：sinx为有界函数，在-1与1之间振荡，为无穷小。 =0。 方法五：有理化分子（分母） 例一 例二：求 解：== 方法六：讨论法。 例一：求的极限。 当x=0时，极限不存在； 当x0时， 当x0时， 由此知，x取值不同，其极限不同，采用讨论的方法，分类讨论，求其极限。 方法七：极限准则1： 例一：求 例二：求 方法八：极限准则二： 例一： 例二： 方法九：洛必达法则： 定理一： 当时，函数f(x)及F(x)都趋于零； 在点a的某去心邻域内，f”(x)及F’(x)存在且F’(x)0; 存在（或为无穷大），那么 定理二： (1) 当时，函数f(x)及F(x)都趋于零; (2)|x|N时，f’(x)与F’(x)都存在，且F’(x)≠0； （3）存在（或为无穷大），那么 洛必达法则应用类型：； 型： 型 型： 求： 例一： 例二： 方法十：幂指函数求极限： 例： 比较极限的算法. 例一： 此题可用洛必达法则，也可用因式分解法解得。 洛必达法则： 因式分解法：= 比较后，可以发现因式分解法与洛必达 法难易程度度相同，此题因式分解法与洛必达法则均可。 例二： 此题可使用洛必达法则与等价替换两种方法。 洛必达法：= 等价替换：= 两者结合使用：= 由此可知，求极限的方法综合使用，可使解题更加简便，快捷。 例三： 此题可用分子有理化，和等价代换的方法。 分子有理化： 由此可知：一道题是用分子有理化的方法以及等价代换相结合的方法， 更加方便。只使用其中一种方法是不能解此题的。此情况也使用于 其它题型。 例四： 此题可使用洛必达法则或等价代换的方法。 洛必达法则： ： 等价代换与洛必大法则相结合： 有此题可知：等价代换的方法比洛必达法则更加简便。 08级5班 魏晨