第6章_3_稳定性.pptVIP

* 6.3 线性离散系统的稳定性 计算机 D/A A/D 被控 对象 测量元件 - 模拟控制器 被控 对象 测量元件 - 1. 线性连续系统 2. 线性离散系统 * (1)拉普拉斯变换： 简单记为： 1. 线性连续系统 (2) 传递函数： (3) 稳定性判据：劳斯判据 * (1) Z变换：令 记为： 2. 线性离散系统 (2) 脉冲传递函数： ， (3) 稳定性判据：? * 6.3.1 从s平面到z平面的映射 定义从复变量 到复变量 的映射 采样周期 * 讨论 1 当 时， s平面的虚轴映射为z平面的单位圆。 1 1 -1 -1 z平面 s平面 * 2 当 时， s平面的左半平面映射为z平面的单位圆内部。 1 1 -1 -1 z平面 s平面 * 3 当 时， s平面的右半平面映射为z平面的单位圆外部。 s平面 1 1 -1 -1 z平面 * 结论 z平面的单位圆内部表示系统的稳定区域； z平面的单位圆外部表示系统的不稳定区域； z平面的单位圆表示系统的临界稳定区域。 * 6.3.2 线性离散系统稳定的充要条件 设闭环线性离散系统的特征方程的根，或者说闭环 脉冲传递函数的极点为 ， [定理1] 线性离散系统稳定的充要条件为： 所有特征值 都分布在z平面的单位圆内部， 或者说 所有特征值的模都小于1， 即 * [例6-20] 已知线性离散系统的闭环脉冲传递函数为 试判断系统的稳定性。 * 6.3.3 离散系统的劳斯稳定判据 为了用劳斯稳定判据判定线性离散系统的稳定性， 首先必须引入新的复变量 ， 使z平面的单位圆内部区域 映射到w平面的左半平面。 令 则 w变换是一种可逆的双向变换 * 假设 则可导出 于是 * 讨论 1 当 时， z平面的单位圆映射为w平面的虚轴； 2 当 时， z平面的单位圆外部映射为w平面的右半平面； 3 当 时， z平面的单位圆内部映射为w平面的左半平面。 * 1 -1 -1 s平面 1 z平面 u v x y z平面的单位圆内部映射为s平面的左半平面。 * [例6-21] 已知线性离散系统的闭环脉冲传递函数为 试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性。 * 3.8.3 连续系统的劳斯稳定判据 劳斯稳定判据的优点在于无需求解高次代数方程， 而直接根据方程的系数来判断其根的分布情况。 闭环系统的特征方程： 如果特征方程同时满足下列3个条件， 劳斯稳定判据 则闭环系统是稳定的。 * 1 特征方程的各项系数 都不等于零， 即方程按降幂排列不缺项； 2 特征方程的各项系数全部都是正实数； （注：各项系数全部都是负实数的情况可以变换成正实系数方程。） 3 将特征方程的各项系数排列成劳斯列表， 表中的第一列各元全部大于零。 * [例3-6] 控制系统的特征方程为 用劳斯判据判定该系统的稳定性。 [解] 显然，本例满足劳斯判据的前两条， 下面计算劳斯列表 * 1 3 5 2 4 0 1 5 0 -6 0 5 自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。 * [例6-22] 已知线性离散系统的框图如下， 分析当 和 时，增益 的临界值。 - G1 (s) G2 (s) * 说明 一个稳定的二阶连续系统， 当它加入采样开关 变成离散系统以后就不一定稳定。 采样周期 是离散系统的一个重要参数， 当 变化时， 开环、闭环脉冲传递函数以及特征方程都 会变化， 系统的稳定性也会变化。 一般来说， 缩短 能使稳定性得到改善； 相反则对 稳定性不利。