平面点集与多元函数-GraphicsXMU.PPT

最后, 由区域套定理的推论, 又由 Dn 的取法, 知道 含有 E 的无限多个点, 这就证得了M0 是 E 的聚点. 推论 任一有界无限点列 必存在收敛子 定理16.4(有限覆盖定理) 设 为一有界闭域 , 为一族开域 , 它覆盖了 D 中必存在有限个开域 它们 同样覆盖了D, 即 ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. ) 列 本定理的证明与 R 中的有限覆盖定理 ( 定理 7.3 ) 相仿, 在此从略. 注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 . 例7 设 试证 E 为有界闭集的充要条件 是: E 的任一无穷子集 Eq 必有聚点, 且聚点恒属 证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 , 必有聚点. 又因 的聚点亦为 E 的聚点, 而 E 是 闭集, 所以该聚点必属于 E ． (充分性) 先证 E 为有界集. 倘若 E 为无界集, 则 存在各项互异的点列 易见 这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾. 再证 E 为闭集. 为此设 P0 为 E 的任一聚点, 由聚 点的等价定义, 存在各项互异的点列 使 现把 看作 , 由条件 的聚点 ( 即 ) 必 属于 E, 所以 E 为闭集. 三、二元函数 ※ 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 应关系. R 到 R 的映射是一元函数, R2 到 R 的映 射则是二元函数. 定义2 设平面点集 , 若按照某对应法则 f , D 中每一点 P ( x, y ) 都有惟一确定的实数 z 与之 对应, 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 ( 或称 f 为 D 到 R 的一个映射 ), 记作 也记作 或点函数形式 与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称 为 f 在点 P 的函数值; 全体函数值的集合为 f 的 值域, 记作 . 通常把 P 的坐标 x 与 y 称 为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量. 当把 和它所对应的 一起组成 三维数组 ( x, y, z ) 时, 三维点集 便是二元函数 f 的图象. 通常该图象是一空间曲 面, f 的定义域 D 是该曲面在 xOy 平面上的投影. 例8 函数 的图象是 R3 中的一个平面, 其定义域是 R2, 值域是 R . 例9 的定义域是 xOy 平面上的 单位圆域 , 值域为区间 [ 0, 1 ], 它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分 ( 图16 – 9 ). 例10 是定义在 R2 上的函数, 它的图象是过 原点的双曲抛物面 ( 图 16 – 10 ). 图16 – 9 图16 – 10 图16 – 11 例11 是定义在 R2 上的函数, 值域 是全体非负整数, 它的图象示于图 16 – 11. ※ 若二元函数的值域 是有界数集, 则称函数 在 D上为一有界函数 ( 如例9 中的函数 ) . 否则, 若 是无界数集, 则称函数 在 D上为一无界 函数 ( 如例8、10、11 中的函数 ). 与一元函数类似地, 设 则有 例12 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 ) 试用等高线法讨论曲面 的形状. 解 用 为一系列常数 ) 去截曲面 得等高线方程 当 时, 得 平面上的四条直线 当 时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状. 若把它化为极坐标方程, 即令 得到 如图16 – 1