[工学]1虚位移原理与达朗贝尔原理.pptVIP

高等动力学 一 虚位移原理与达朗贝尔原理 1.约束及其分类 基本概念 质点系：由n个质点通过一定的联系组成的研究系统 位形：质点系各质点在同一时刻的位置构成 Pfaff型约束 三变量Pfaff型约束 2.自由度与广义坐标 基本概念 自由度：确定系统位形所需的最少参量数或独立参量数 它等于确定系数位形的代数坐标数减去约束方程数。如： 广义坐标：确定系统位形所需的独立参变量 它是代数量，可以是具有明确物理意义的线坐标、角坐标，也可以不具有任何意义，但便于描述系统位形。 完整系统的广义坐标数等自由度。k=3n-s个广义坐标通常记为q1, q2, …, qk 系统各个质点的直角坐标或矢量坐标通过广义坐标表示为 广义速度：广义坐标关于时间的导数 系统各个质点的速度通过广义速度表示为 3.虚位移、虚功与广义力 基本概念 (1)虚位移：某瞬时、质点或质点系满足约束条件的任何无限小位移 区别虚位移与真实位移 虚位移：?ri (2)广义虚位移：广义坐标相应的虚位移(?qj)，相互独立。 各个质点的矢量坐标相应的虚位移相互不完全独立，通过广义虚位移表示为 (3)虚功：力在虚位移上所作的功(?W)，也是假想的、不同于真实的元功 (4)广义力：力Fi的相应于广义坐标qj、代数量、不一定具有明确的物理意义 (5)理想约束：系统的约束力在任何虚位移上所作的功之和等于零。 4.虚位移原理 虚位移原理/虚功原理，它更一般、概括地给出了质点系平衡的充分必要条件。 证明平衡条件的必要性与充分性 必要性。当质点系保持平衡时，其中任一质点也平衡。作用于该质点的主动力的合力Fi与约束力的合力Fci相平衡，由汇交力系的平衡条件得 对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。将这些等式相加得 充分性。反证法。设主动力的虚功总和等于零，但质点系不平衡。则质点系至少有一个质点将进入运动状态，以其中一个质点Mj为例。由质点动力学定律知，其小位移将沿主动力Fj和约束力Fcj的合力方向。对于定常约束情况，实际的微小位移也是一个虚位移，记为?rj，于是有虚功 质点系进入运动的质点上力的虚功都大于零，而其余平衡的质点上力的虚功均等于零。将质点系的所有虚功相加得 虚功方程是一个代数方程，却包含了质点系的多个平衡关系。将各质点的虚位移通过广义虚位移表示，得到 它表明虚位移原理关于质点系平衡的充分必要条件，可通过广义力表达式为质点系的所有广义力等于零。其平衡条件个数等于质点系的自由度数。 如果作用于质点系的所有主动力都是有势力，则质点系平衡的充分必要条件成为 虚功方程不包含未知的约束力、没有“多余”的平衡关系。为求约束力，可解除相应的约束，将约束力转化为主动力，从而进入虚功方程，同时系统的自由度也随之增加，其增加的数目受解除的约束控制，等于相应的约束力个数。 5.达朗贝尔原理 质点系中任一质点，质量mi、加速度ai、主动力Fi、约束力Fci，动力学关系 根据达朗贝尔原理，可通过平衡条件建立质点系的动力学方程。例如由一般力系平衡的主力矢量和主矩矢量等于零的条件： 运动刚体上的惯性力组成一个分布力系，可以等效为一个力和力偶。 第一章完 a.几何约束与运动约束 b.定常约束与非定常约束 c.双面约束与单面约束 d.完整约束与非完整约束 其等效力作用于杆上距O端为2a/3处，方向垂直并离开z轴，大小为 类似地，可得杆OB上的惯性力也组成一个线性分布力系，其等效力作用于杆上距O端为2b/3处，方向垂直并离开z轴，大小为 根据达朗贝尔原理，作用于直角杆OAB的重力m1g和m2g、约束力FOx、FOy和MOz、与惯性力Fg1和Fg2组成平衡力系。 关于垂直于OAB的O轴的力矩平衡方程 解得?与?的关系式 例1.8杆、轮和物组成系统如图1.9所示，杆BC水平，长度BC=b，C端固定，B端通过光滑铰联接轮心。均质圆轮B的半径为R，质量为m2，位于铅直平面内。物A的质量为m1，通过绕在轮B上的绳子悬挂，绳与杆的重量不计。物A下落时，带动轮B转动。求：固定端C的约束力。 m1g FCx FCy MC C B m2g ? Mg2 A Fg1 a (a) m1g B m2g Mg2 A Fg1 FBx FBy (b) 图1.9 物A与轮B组成的子系统如图1.9（b）所示，受到重力m1g、m2g和约束力FBx、FBy作用。 轮B定轴转动，惯性力系等效为绕轮心的一个力偶 物A的惯性力为 根据达朗贝尔原理，重力、约束力和惯性力组成平衡力系。平衡方程 解： 利用运动学关系a=R?，解得 再分析整个系统，受到主动力、