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不动点理论及其应用 主要内容： 不动点理论—压缩映像原理 不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在中学数学中的应用 目录： 引言 压缩映像原理 在微分方程中的应用 在中学数学中的应用 其它 引言 取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上， 那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。 函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数在取值过程中, 如果有一个点 使,则 就是一个不动点。 压缩映像原理 定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理） 设 是一个完备的距离空间， 是 到其自身的一个压缩映射，则 在 上存在唯一的不动点。 这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射 距离空间又称为度量空间。 定义：（距离空间）设 是一个非空集合。 称为距离空间，是指在 上定义了一个双变量的实值函数 ， 满足下面三个条件： （1）。， 而且， 当且仅当 ； （2）。； （3）。， （）。 这里 叫做 上的一个距离，以 为距离的距离空间 记作。 定义：（完备的距离空间）距离空间中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。 定义：（压缩映射）称映射 是一个压缩映射，如果存在 ， 使得 成立。 在微分方程中的应用 定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题 假设 在矩形区域 内连续，而且对 满足Lipschitz条件，则上述问题在区间 上有且仅有一个解，其中 （1）。 传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明： 转换成等价的积分方程 构造皮卡迭代序列 证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解 证明解唯一 （2）。压缩映像原理证明 根据上面的理论，先定义 然后， 给一个度量 由积分方程 ， 我们可以定义一个映射： 我们要证明两点： 任意 ， 则 检验映射 是一个压缩映射 注意函数 对 满足Lipschitz条件： 其中 是一个常数。 容易得到 因此，只要 取得适当小， 使得 ， 则映射 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点， 使得 这样，存在与唯一性同时成立。 在中学数学中的应用 假设定义在R上的奇函数 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。 证明：函数 为奇函数，所以 ， 特别，取 ， 则 。因此 0 是一个不动点。 如果 是一个不动点，即， 那么 说明 也是一个不动点， 而且 。或者说，奇函数的非零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。 给定函数 ， 为常数。 （1）。如果函数有两个关于原点对称的不动点，求应该满足的条件。 （2）。在（1）的条件下，取 的图像上 两点的横坐标是函数的不动点，为函数图像上的另外一点，而且其纵坐标大于3，求点到直线距离的最小值，以及取得最小值时点的坐标。 解：设 是函数图像上的不动点，则有 整理得 （*） 由题意知方程（*）有两个根，而且绝对值相等，符号相反。 由韦达定理得 由此得 故 。因此，应该满足的条件是：。 （2）。在（1）的条件下，取 则 由得函数 的两个不动点 ， 故 ， 设 ， 则 。 由， 解得 直线的方程为 。设点到直线的距离为 。 当且仅当 ， 即 时上式等号成立，此时， 故点到直线距离的最小值为，此时点的坐标为。 其它 还有很多其它不动点定理 Brouwer 不动点定理: n 维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质，即 如果 表示这个球， 是任意连续函数，则存在一个点 ， 使得 在经济均衡理论中的应用 例如， 经典的Leontieff 模型。 假设每生产一个产品有 N 个生产者， 表示生产者 的全部产品， 表示 生产的产品被 消耗的全部总数。定义 上式含义： 的全部产品数与由生产者消耗的总数之差。 称为商品 的“最后要求”。 闭合的Leontieff 模型假设 。 称为 “产品系数”。 如果 是常数， 那么 ， 其中 ， ， 。 一般情况下，假设 为正连续函数。 称为 “要求函数”：表示当的收益为， 而花费在由 生产的产品 上的资本总数。显然，。 现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式 （1） 一般的经济规律认为， 生产者 的收益 按照这样的方式确定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者