[初三数学]二次函数.pptVIP

二次函数 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。 二次函数定义 　　   二次函数及其图像 一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 　　注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。 几种表达式 一般式 　　y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a] 　　把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 顶点式 　　y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 　　解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。 　　解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。 　　注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 交点式 　y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] . 　　已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 　　由一般式变为交点式的步骤： 二次函数(16张) 　　∵x+x=-b/a x1·x=c/a（由韦达定理得） 　　∴y=ax^2+bx+c 　　=a（x^2+b/ax+c/a） 　　=a[x^2-(x1+x2)x+x1*x2]=a(x-x1)(x-x2) 　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a0时，开口方向向上；a0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 　其他知识介绍：牛顿插值公式 　　f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 三点式 　　已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)） 　　则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3) 与X轴交点的情况 　　当△=b^2-4ac0时，函数图像与x轴有两个交点。 　　当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。 　　当△=b^2-4ac0时，函数图像与x轴没有交点。 基本图象 　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 　　注意：草图要有 : 　　1. 本身图像，旁边注明函数。 　　2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a） 　　3. 与X轴交点坐标 （x1,0）；（x2,0），交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a). 轴对称 　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a　　 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 　　特别地，当b=0时，二次函数图像的对