[2018年必威体育精装版整理]1椭圆的标准方程(TY).docVIP

2.2.1 椭圆的标准方程 第1课时 课题：椭圆的标准方程 一．复习椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 二．椭圆的标准方程 在解析几何中研究平面上的曲线，先建立平面直角坐标系，然后求曲线的方程，再用代数的方法研究这个曲线性质。例如前面研究的直线和圆。 问题：要求椭圆的方程，你认为怎样建直角坐标系为好？为什么？ 问题：设椭圆的两焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点M到F1、F2的距离和为2a（2a＞2c＞0），你能求这个出椭圆的方程吗？ 建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且原点点O与线段F1F2的中点重合． 设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1、F2的坐标分别为（－c，0）、（c，0）．又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a． 由椭圆的定义，椭圆就是集合 P＝{M| | M F1 |＋| MF2 |＝2a}． 因为 | M F1 |＝， | MF2 |＝， 所以 ＋＝2a． 移项后两边平方，得 （x＋c）2＋y2 ＝4a2－4a＋（x－c）2＋y2． 整理，得 a2－cx＝a． 两边再平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得 （a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）． 由椭圆的定义可知 2a＞2c，所以 a2－c2＞0． 令a2－c2＝b2，其中b＞0，代入上式，得 b2x2＋a2y2＝a2b2， 两边同除以a2b2，得 （a＞b＞0）． ① 从上述推导过程可知，这个椭圆是所有以方程（a＞b＞0）的解为坐标的点组成的．这就是说，如果M（x0，y0）是椭圆上的点，那么（x0，y0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x0，y0）是方程（a＞b＞0）的解，那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上，这样，我们就说（a＞b＞0）是这个椭圆的方程 这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中b2＝ a2－c2． 问题：如果焦点F1、F2在y轴上，焦点F1、F2的坐标分别为（0，－c）、（0，c），a、b的意义同上（如图），椭圆的标准方程又是怎样的？你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征来猜想出结论吗？ 实际上，图2相当于先将图1中的x轴、y轴互换，再将x轴改变方向，因此，只要将方程①中的x、y互换，就可得到该椭圆的方程（显然x轴的方向改变了，但是方程①中以－y代y后方程仍保持不变）： （a＞b＞0）． 这个方程也的椭圆的标准方程． 说明： 1．椭圆的标准方程有二： 或（a＞b＞0）． 之所以称它为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用椭圆的对称性建立直角坐标系有关． 对椭圆的标准方程还应注意理解以下几点： （1）标准方程中的两个参数a和b是椭圆的定形条件，a、b的值一旦确定，椭圆的形状和大小也就随之确定； （2）焦点F1、F2的位置是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的的类型，也就是说， 若知道了焦点的位置，其标准方程只有一种形式； 若不知道焦点的位置，其标准方程具有两种类型． 我们应当特别重视方程的形式与图形的对应关系，养成先“定型”再确定方程的习惯． （3）任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可以写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点的坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式． （4）由椭圆的定义中常数大于| F1F2 |的要求，有2a＞2c＞0． 2．在推导椭圆的标准方程的过程中，渗透数形结合的思想了．如“令a2－c2＝b2”，这不仅可以使方程变得简单整齐，同时它还有很明确的几何意义．请思考： （1）a，b，c三个参数有什么几何意义？等式a2＝b2＋c2又有怎样的几何意义？ （2）在推导出后，可将它变形为 或 ， 它们有怎样的几何意义？ 3．椭圆的两个基本问题： （1）求椭圆的标准方程时，若条件符合椭圆的定义，中心在坐标原点，只要求出a、b．