[2018年必威体育精装版整理]1-5亥姆霍兹定理.pptVIP

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[2018年必威体育精装版整理]1-5亥姆霍兹定理

* 1.5 亥姆霍兹定理一、亥姆霍兹定理：若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定；且可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。二、亥姆霍兹定理的证明： 1、证矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定：设在无限空间中存在两个矢量函数，它们具有相同的散度和旋度。令（1-5-2）则（1-5-3）４对两边取旋度（1-5-2）根据矢量恒等式则令（1-5-4）将（1-5-4）代入（1-5-3）２（1-5-5）而满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，若给定边界条件，则满足拉普拉斯方程的函数应该是由（1-5-4）由（1-5-2）有限的常数唯一处处为零，任一物理场必有源来激发它，若这个场设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场（有散场）和一个有旋场（无散场）之和： 2、证：即（1-5-6）（1）对无旋场必使其散度不会的旋涡源和通量源都为零，则场不存在。（1-5-7）两个重要的恒等式之一