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[2018年必威体育精装版整理](正交)投影
投影
变换 P 是在线 m 上的正交投影。
在线性代数和泛函分析中,投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换,是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样,投影变换将整个向量空间映射到一个它的一个子空间,并且在这个子空间中是恒等变换[1]。
定义
投影的严格定义是:一个从向量空间V射到它自身的线性变换 P 是投影,当且仅当。另外一个定义则较为直观:P 是投影,当且仅当存在V的一个子空间W,使得 P 将所有V中的元素都映射到W中,而且 P 在W上是恒等变换。用数学的语言描述,就是:
,使得,并且
简单例子
在现实生活中,阳光在地面上留下各种影子。这就是投影变换最直白的例子。可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向(比如说垂直于地面的角度)照射而来,大地是严格的平面,那么,对于任意一个物体(比如说一只正在飞行的鸟),它的位置可以用向量 (x, y, z) 来表示,而这只鸟在阳光下对应着一个影子,也就是 (x, y, 0)。这样的一个变换就是一个投影变换。它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。这是在 x-y 平面上的投影。这个变换可以用矩阵表示为
因为对任意一个向量 (x, y, z) ,这个矩阵的作用是:
注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话(也就是说它的z分量等于0),那么经过变换 P 后不会有改变。也就是说这个变换在子空间 x-y 平面上是恒等变换,这证明了 P 的确是一个投影。
另外,
所以 P = P2,这也证明 P 的确是投影。
基本性质
变换 T 是沿着 k 方向到直线 m 上的投影。T 的像空间是 m 而零空间是 k。
这里假定投影所在的向量空间V是有限维的(因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题)。假设子空间U与W分别为 P 的像空间与零空间(也叫做核)。那么按照定义,有如下的基本性质:
P 在像空间U上是恒等变换:
整个向量空间可以分解成子空间U与W的直和:。也就是说,空间里的每一个向量,都可以以唯一的方式写成两个向量与的和:,并且满足、。事实上,每一个向量都可以写成。显然在像空间中,而另一方面,所以在零空间中。
用抽象代数的术语来说,投影 P 是幂等的线性变换(P2 = P)。因此它的极小多项式是。因式分解后可以看到,这个多项式只有相异的单根(没有多重根),因此 P 是可对角化矩阵。极小多项式也显示出了投影的特性: 像空间与零空间分别是是对应于特征值1和0的特征空间,并给出了整个空间的一个直和分解。
正如日常生活中阳光沿着一定的方向将影子投射到地面上,一般的投影变换也可以称为是沿着W到U上的投影。由于向量空间分解成直和的方式一般不是唯一的(阳光可以顺着不同的方向照射),给定一个子空间 V(地面),一般的说有很多到V 的投影(沿不同的W)。
正交投影
如果向量空间被赋予了内积,那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间(赋予了内积的向量空间)中,有正交投影的概念。具体来说,正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。也就是说,任意,,它们的内积都等于0。 一个投影是正交投影,当且仅当它是自伴随的变换,这意味着正交投影的矩阵有特殊的性质。如果投影是在实向量空间中,那么它对应的矩阵是对称矩阵: 。如果投影是在虚向量空间中,那么它的矩阵则是埃尔米特矩阵:。实际上,如果投影 是自伴算子,那么
( 表示 的伴随算子)
所以 是正交投影。反过来如果 是正交投影,那么 ,
然而 ,所以
鉴于 是任取的,必然有 。所以 是一个自伴算子,因此 也是自伴算子。
例子
正交投影的最简单的情况是到(过原点)直线上的正交投影。如果 u 是这条直线的单位方向向量,则投影给出为
这个算子保留 u 不变(),并且它作用在所有正交于 u 的向量上都是0(如果,那么 ),证明它的确是到包含 u 的直线上的正交投影[2]。
这个公式可以推广至到在任意维的子空间上的正交投影。设 u1, …, uk 是子空间 U 的一组正交基,并设 A 为一个n×k 的矩阵,它的列向量是 u1, …, uk。那么投影:
[3]
也是正交的。矩阵 AT 是在 U 的正交补变为零的偏等距同构,而 A 是把 U 嵌入底层向量空间的等距同构。PA 的值域因此是 A 的“终空间”(final space)。ATA 是在 U 上的恒等算子也是明显的。
正交条件也可以去除。如果 u1, …, uk 是(不必须正交)基,而 A 是有这些向量作为列的矩阵,则投影是
。[4]
矩阵 AT 仍把 U 嵌入到低层向量空间中但一般不再是等距的。矩阵 (ATA)?1 是恢复规范的“规范化因子”。例如,秩-1 算子 uuT 不是投影,如果 ||u|| ≠ 1。在除以 uTu
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