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考研概率论复习古典概型中几种研究模型
古典概型中研究的几类基本问题:
抛硬币、掷(tóu)子、摸球、取数等随机试验,在概率问题的研究中,有着十分重要的意义.一方面,这些随机试验,是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确,富有直观性和典型性,便于深入浅出地反映事物的本质,揭示事物的规律.另一方面,这种模型化的处理方法,思想活泼,应用广泛,具有极大的普遍性,不少复杂问题的解决,常常可以归结为某种简单的模型.因此,有目的地考察并掌握若干常见的概率模型,有助于我们举一反三,触类旁通,丰富解题的技能和技巧,从根本上提高解答概率题的能力.
本部分主要讨论古典概率中的四类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题和选票问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.
[例1]袋中有个白球,个黑球:
(1)从中任取出a+b个(a,bN,α≤a,b≤β,试求所取出的球恰有a个白球b个黑球的概率;
(2)从中陆续取出3个球(不返回),求3个球依次为“黑白黑”概率;
(3)逐一把球取出(不返回),直至留在袋中的球都是同一种颜色为止,求最后是白球留在袋中的概率.
思考方法 这里的三个小题,摸球的方式各不相同,必须在各自的样本空间中分别进行处理.(1)中的每一个样本点,对应着从+β个球中任取a+b个球的一种取法,无需考虑顺序,属于组合问题.(2)中的每一个样本点,对应着从+β个球中依次取出三个球的一种取法,需要考虑先后次序,属于排列问题.(3)中事件的有利场合(摸剩白球)包含了种不同情形:摸剩个白球,-1个白球,,1个白球.因此,必须对各种情形分别加以考虑.
解(1)设A1表示事件“所取的a+b个球中恰有a个白球和b个黑球”.从+β个球中任意摸出a+b个,有种不同取法,此即样本空间所包含的样本点总数.而事件A1所包含的样本点数,相当于从个白球中任取a个,从个黑球中任取b个的取法种数,共种.所以
P(A1)=
(2)设A2表示事件“取出的3个球依次为黑白黑”.从+β个球中依次任取3个,有种取法,此即样本点总数.对于有利场合,第一个和第三个黑球可在个黑球中依次取得,有种取法,第二个白球可在个白球中任取,有种取法.因此,A2所包含的样本点数为.于是
P(A2)=
(3)袋中只剩白球时(设此事件为A3),取出的球必为黑球,i个白球(i=0,1,…,-1).用Bi表示事件“取出个黑球,i个白球,袋中留下的全是白球”(i=0,1,…,-1),则事件B0,B1,…,B-1,β必两两互不相容,且A3=B0+B1+…+B-1.
依概率的有限可加性,有
B2)+ …+P(Bα-1)
依事件Bi的含义,对于确定的i,它的样本空间就是从+β个球中任取i+个球的排列.所以,样本点总数为.注意到i+个球取出后,留在袋中的全是白球,因而在这i+球中,最后取出的一个应是黑球.这样,事件Bi的有利场合,就是i+-1个球的全排列(个黑球中扣除1个,以保证最后取出的一个必为黑球.显然,i个白球可从个白球中取得,有种取法;-1个黑球可从个黑球中取得,有种取法,.从而事件Bi所包含的样本点数为.于是
P(Bi)= =
把诸P(Bi)的值代入(1)式,并注意到
+
即得
P(A3)= …==
评注 如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让读者对此有深切的体会,我们再来看下面的例子(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问: 5只都是好的概率为多少? 5只中有2只坏的概率为多少?
(;②)
(2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率.
(:)
(3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色的牌和三张黑色的牌的概率.
(答案:)
(4)用火车运载两类产品,甲类n件,乙类m件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率.
(答案:)
(5)一个班级有2n个男生和2n个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等的概率.
(答案:)
(6)从数1,
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