数学归纳法中的证法总结.docVIP

说明：此文发表在由湖北第二师范学院（原湖北教育学院）主办的《语数外学习》（高中版）2007.11上 数学归纳法的应用技巧及常见误区剖析 （江苏省睢宁县城北中学221200）武瑞雪 数学归纳法是直接证明的一种重要方法，一般地说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问题，都可用数学归纳法解决。本文旨在通过对数学归纳法应用中常见误区加以剖析，以及一些证法技巧介绍，以期同学们提高对数学归纳法的应用能力。 1 常见误区及剖析 1.1 忽略了归纳的基础 例1.设n(N((求证：2+4+6+…+2n=n2+n+1. 错证 假设当n=k时等式成立，即2+4+6+…+2k=k2+k+1, 那么，当n=k+1时，有2+4+6+…+2k+2（k+1） =k2+k+1+2（k+1） =（k+1）2+（k+1）+1 这就是说，当n=k+1时等式成立， 所以，n(N(时，2+4+6+…+2n=n2+n+1.成立。 剖析 缺少第一步，实际上当n=1时，等式不成立。 题目本身是个错题！不要以为第一步“当n=1时等式成立”无关紧要、可有可无。缺少第一步，相当于失去了归纳推理的基础。 1.2 误认为第一步要验证的初始值总是一个： 例2.求证：当n(N(时，（1+2+3+…+n）（ 错证 ⑴当n=1时，不等式显然成立。 ⑵假设当n=k时不等式成立，即（1+2+3+…+k）（ 那么，当n=k+1时，[1+2+3+…+k+（k+1）]（ =（1+2+3+…+k）（ +（k+1）（ +（1+2+3+…+k）+1 (k2+(k+1)(1+)++1(k+1)2. 这就是说，当n=k+1时不等式也成立。 综合⑴、⑵知原不等式对n(N(成立。 剖析 上述证法看似完美，解题过无懈可击，其实错误。在第⑵步中，不等式（k+1）（(（k+1）（1+）只有在k(2时才成立，故在第⑴步中，还应验证k=2时不等式是否成立。否则，归纳推理的基础不再牢固。 1.3 归纳推理出错： （i）证明n=k+1时命题成立，没有用到归纳假设 例3 用数学归纳法证明： 错证 ⑴当n=1时，，不等式成立。 ⑵假设当n=k时不等式成立，即, 那么，当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时不等式也成立。 综合⑴、⑵知原不等式对n(N(成立。 剖析 上述解法和例3犯了同样的错误。 正解 ⑴当n=1时，不等式成立。 ⑵假设当n=k时不等式成立，即,即k2+k((k+1)2. 那么，当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时不等式也成立。 综合⑴、⑵知原不等式对n(N(成立。 （ii）证明n=k+1时命题成立，虽然用到归纳假设，但推理过程有误。 例4. 设n(N((求证：2nn2. 错证 ⑴当n=1时，2112，不等式成立。 ⑵假设当n=k时不等式成立，即2kk2, 那么，当n=k+1时，有2k+1 =2·2k=2k+2kk2+k2(k2+2 k+1 =（k+1）2 这就是说，当n=k+1时不等式也成立， 所以，n(N(时，2nn2.成立。 剖析 第二步证明有错。一般地，对自然数k，当k((时，k2(2k+1才成立。 此题本身是个错题！事实上，当n=2，3，4时不等式“2nn2.”不成立，当n(N(，且n((时，命题“2nn2才是正确的。 2 数学归纳法第二步的证法 2.1 配凑“归纳假设”法 例5 设n(N(，用数学归纳法证明： 证明 ⑴当n=1时，不等式显然成立。 ⑵假设当n=k时不等式成立，即, 那么，当n=k+1时，有+ =+（）(+(((( 这就是说，当n=k+1时不等式成立。 综合⑴、⑵知原不等式成立。 评注 在将归纳假设“”作为条件证明“+(1”时，应设法从+中配凑出. 但若按“+=（）+”配凑，然后再用归纳假设而得+((+，要其小于1，则显然不可能！至此，有的同学会认为此题不能用数学归纳法，其实不然，只是配凑不恰当而已。 2.2 分析法 例6 求证：（1+1）（1+ 证明：⑴当n=1时，左边=1+1=2=，右边=，不等式成立。 ⑵假设当n=k时不等式成立，即（1+1）（1+, 那么，（1+1）（1+（1+）(（1+） 要证n=k+1时不等式成立，只要证（1+）(, 即只要证1+(，只要证，只要证(3k+2)3(3k+4)(3k+1)2，只要证36k+827k+4，只要证9k+40 此不等式显然成立， 这就是说，当n=k+1时不等式成立。 综合⑴、⑵知原不等式成立。 评注 由上可知，用分析法完成n=k+1时命题的证明，简单易行，是一个妙法。另外，对于本题在n=k+1时命题的证明过程上，我们又有如下证法。即要证n=k+1时不等式成立，只要证（1+）(， ∵ (( ∴（1+）(成立， ∴当n=k+1时，不等式成立。 ［相关练习］ 用数学归纳法证明： 1. 当n(N时，1