[研究生入学考试]考研2005-2012年数一答案.docVIP

2005-2012年研究生入学考试（数学一）试题答案解析 2005年硕士研究生入学考试（数学一）答案解析 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 的斜渐近线方程为 【详解】 因为a=， 于是所求斜渐近线方程为 （2） 微分方程满足的解为. 【详解】 原方程等价为 ， 于是通解为 =， 由得C=0，故所求解为 （3）=. 【详解】 因为 ，，，于是所求方向导数为 = （4）. 【详解】 = （5） 2 . 【详解】 由题设，有 =，于是有 （6）= . 【详解】 =+ ++ = 二、选择题（ (7) [ C ] 【详解】 当时，； 当时，； 当时， 即 可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C). （8） [ A ] 【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且 当F(x)为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A). （9） [ B ] 【详解】 因为， ， 于是 ， ， ， （10） [ D ] 【详解】 令F(x,y,z)=, 则 ， ，， 且 ，，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D). （11）[ B ] 【详解】 方法一：令 ，则 ， . 由于线性无关，于是有 当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B). 方法二： 由于 ， 可见，线性无关的充要条件是故应选(B). （12） [ C ] 【详解】 由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可见应选(C). （13） [ B ] 【详解】 由题设，知 a+b=0.5 又事件与相互独立，于是有 ， 即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). （14） [ D ] 【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，，可排除(A); 又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项. 因为 ，且相互独立，于是 故应选(D). 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 【详解】 令 ， . 则 = （16）（本题满分12分） 【详解】 因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1） 记　　 则　　 由于　　 所以　　 又　　　　 从而　　 （17）（本题满分11分 【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部积分，知 = = （18）（本题满分12分） 【详解】 （I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-10, F(1)=10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即. （II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得， 于是 （19）（本题满分12分） 【详解】 （I） l2 C o X