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第六节 一、引例(Introduction) 二、积分上限函数及其导数 Notation: 例1. 求 Exercises: 例3. 回顾: 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 (N-L Formula) 例5. 计算 例11. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , Conclusions EXERCISES: 备用题 * 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 微积分基本公式 (教材P 133 页第二节) Problem: 该问题用定积分可表示为求下述极限问题: How to solve it? It’s not very easy! 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 问题: 这种积分与原函数的关系在一定条件下是否具 有普遍性 ? 考察定积分 记 积分上限函数 则变上限函数 证: 则有 定理1. 若 (微分形式) 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 解: 原式 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 原式 = c ≠0 , 故 又由 ～ , 得 积分上限的函数是表示函数关系的一种 新的方法.用这种方法表示的函数在物理,化学,统计学中有广泛的应用. 例如,以法国著名物理学家弗雷斯纳尔(Augustin Fresnel,1788~1827)的名字命名的弗雷斯纳尔函数： 这个函数最初出现在光波衍射理论中，现在它已经被应用于高速公路的设计． Problem:研究函数S(x)性质：单调性，极值点，凹凸性，拐点，渐进线． 证明 在 内为单调递增函数 . 证: 只要证 证 令 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . ( 积分形式) 证: 根据定理 1, 故 因此 得 记作 定理2. 函数 , 则 微积分基本公式表明： 注意: 求定积分问题转化为求原函数的问题. N-L Formula 微积分学的创立： 1684 ，1686 1675 莱布尼兹 1687 1665 牛顿 发表年代 创作起始年代 17世纪下半叶，牛顿和莱布尼兹分别在前人大量工作的基础上先后发现了微分和积分的关系。他们的发现标志着微积分学的最终创立。 英国派代表人物：泰勒，马克劳林 欧洲大陆派代表人物：伯努利兄弟 First published proof by Barrow (1670) Isaac Barrow Discovered by Newton (1666, unpublished); and by Leibniz (1673) Isaac Newton Gottfried Leibniz 解: 例6. 计算正弦曲线 的面积 . 解: How easy it is! NOTATION 例6揭示了微积分基本定理的巨大威力．当法国数学家Gilles de Roberval在１６３５年首次获得正弦和余弦曲线下方的面积，这个问题在当时是富有挑战性的，它需要非凡的智慧，但到１６６０～１６７０年，当Barrow发现了微积分基本定理并被Newton和 Leibniz深入研究后，这类问题变得非常容易! ( see Example ６) 评论：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的，复杂的东西抛到一边．　　　 例7 求 原式 例8 设 , 求 . 解 解 例9 求 解 由图形可知 例10．下面计算是否有错？ 解： 由定积分性质６知 注意到 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离? 则有 1. 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 3. N—L公式是计算定积分的基本公式 ☆ ☆ EXERCISES IN CLASSROOM ☆ ☆ ☆ ☆ 解： 1. 设 求 定积分为常数 , 设 , 则 故应用积分法定此常数 . * * * *