[理学]计算物理课件 Chapter1.pptVIP

第 1 章 插值法 1.1 插值法 1.2 Lagrange插值 1.3 Newton插值 1.4 Hermite插值 1.5 分段线性插值 1.6 三次样条插值 1.7 程序示例 习题1 1.1 插值法 插值法 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应 用。简单地说，插值法就是用给定的(未知)函数 f(x)的 若干点上的函数值(或其导数值) 来构造 f (x)的近似函数 ?(x)，要求?(x)与 f(x)在给定点的函数值相等。 有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值 和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常 用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。 1.2 Lagrange插值 选用代数多项式作为插值函数。Lagrange插值就是选用节点上的函数值作为插值条件。 1.2.1 线性插值 给定两个点(x0，y0)，(x1，y1）， x0≠x1，确定一个一次多项式插值函数， 简称线性插值。 待定系数法 设 L1(x)=a0+a1x, 代入插值点 当x0≠x1时，方程组的解存在唯一。 解之得， 因此， （1.1）式称为一次Lagrange插值。 由求解过程知，用待定系数法，需要求解线性方程组，当已知节点较多时，即方程的未知数多，计算量较大，不便向高阶插值推广。 插值基函数法 分别构造两个节点上的一次函数，使其在本节点上的函数值为1，而在其他节点上的函数值为0。设l0(x), l1(x)分别为满足上述条件的一次函数，即 或简单地记为 对于过两个节点x0 , x1的线性插值（1.1）式，令 显然， l0(x), l1(x) 满足：　线性插值函数可以写成节点上函数值的线性组合，即 L1(x) = l0(x) y0 + l1(x) y1 ．称l0(x), l1(x) 分别为x0, x1的插值基函数。 线性插值误差 定理 1 设L1(x)为一次Lagrange插值函数, 若 f (x) 一阶连续可 导，f (x)在(a, b)上存在，则对任意给定的x∈(a ,b), 至少存在一点ζ∈(a,b),使得 证明 因为L(xi)= f(xi),i=0,1,所以，R1(x0)=R1(x1)=0, 即 x0,x1为R1(x)的两个根。因此，可设R1(x)为 可设 R1(x) = k(x)(x-x0)(x-x1). 固定任一 x，作辅助函数，令 则Ψ (xi )=0, i =1,2, Ψ (x)=0, 即Ψ (t)有3个零点x0, x1, x。 假定，x0 x x1 , 分别在[x0，x]和[x，x1]上应用洛尔（Rolle）定理，可知， Ψ′(t)在每个区间上至少存在一个零点，ζ1，ζ2，使Ψ′(ζ1)=0，Ψ′(ζ2)=0(此即Ψ′(t)有2个零点)。再利用洛尔定理知， Ψ′(t)在[ζ1,ζ2]上至少有一个零点ζ，使Ψ″ (ζ)=0。 对Ψ (t)求2阶导数得， Ψ″ (t) = f″ (t) -2!k(x), 因为Ψ″ (ζ)=0，所以，有 k(x) = f″ (ζ) /2!。 证毕。 1.2.2 二次插值 给定3个互异插值点(xi, f (xi)), i = 0,1,2，确定一个二次插值多项式函数，即抛物线插值（如图）。 待定系数法 设L2(x)=a0+a1x+a2x2, 代入3个插值条件： L2(xi)= f(xi)), i = 0,1,2，解线形方程组可得a0, a1, a2。 插值基函数法 构造3个节点上2次插值基函数 l0(x), l1(x), l2(x), 使满足 li(xj)=δij ， i, j = 0,1,2。 因为l0(x) 为2次插值基函数, 且l0(x1) = l0(x2) = 0, 所以可设 l0(x) = A (x - x1)(x - x2)。