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第七章 常微分方程初值问题的数值解法 §7.1 引言 §7.2 欧拉法与梯形法 §7.3 泰勒展开法与龙格-库塔 （（RRunge–KKutttta ））方法方法 §§77.44 线性多步法线性多步法 §§77.55 数值算例数值算例 2012/4/9 1 §7.1 引言 本章着重讨论本章着重讨论一阶常微分方程初值问题阶常微分方程初值问题   dyy y ff （（x，y））   dx 在区间[a,b]上的数值解法。  y （）a y 0  这些问题多数情况下求不出解析解这些问题多数情况下求不出解析解，，只能用近似只能用近似 的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法近似解析法，，如级数解法如级数解法，，逐次逼近法等逐次逼近法等。。另另一 类称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上 的近似值的近似值。。 2012/4/9 2 引言（续）   若f （x ,y ）在区域D= a x b，y R 上连续，且 关于yy 满足李普希兹（Lippschitz ）条件,即存在常 数L ,使 f ( x , y 1 )  f ( x , y 2 )  L y 1  y 2 ， y ,y 对内任两个 1 2 均成立，其中L 是与x ，y 无关 G 的常数的常数，则上面的初值问题存在唯则上面的初值问题存在唯一解解，且解是且解是 连续可微的。 RemarkRemark ：：在在ff ((xx ,yy ))对对yy 可微的情况下可微的情况下，若偏导数有界若偏导数有界， f ( x , y ) 则可取 L max ，此时有 ( x , y ) D y ff ((x,)) f (x,y ) f (x,y ) (y y ) L y y ,介于y 与y 之间。 1 2 1 2 1 2 1 2 y 此时此时LipschitzLipschitz连续条件显然成立连续条件显然成立。这是验证该条件这是验证该条件 的最简便的方法。 2012/4/9 3 引言（续） 常微分方程初值问题的数值解是求上述初值 问题的解yy ((x))在区间[[a ，b]] 中的点列 x x h （i 1，2，n ） y i i1 i 上的近似值 。以下设h i i 不变，记为h-步步长。