[理学]线性规划运输问题.docVIP

第四章 运输问题 Chapter 4 Transportation Problem §4.1 运输问题的定义 设有同一种货物从m个发地1，2，…，m运往n个收地1，2，…，n。第i个发地的供应量（Supply）为si（si≥0），第j个收地的需求量（Demand）为dj（dj≥0）。每单位货物从发地i运到收地j的运价为cij。求一个使总运费最小的运输方案。我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。我们先只考虑这一类问题。 图4.1.1是运输问题的网络表示形式。 运输问题也可以用线性规划表示。设xij为从发地i运往收地j的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。运输问题线性规划变量个数为nm个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。约束个数为m+n个，全部为等式约束。前m个约束是发地的供应量约束，后n个约束是收地的需求量约束。运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。 运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。 在运输问题线性规划模型中，令 X=（x11，x12，…，x1n，x21，x22，…，x2n，……，xm1，xm2，…，xmn）T C=（c11，c12，…，c1n，c21，c22，…，c2n，……，cm1，cm2，…，cmn）T A=[a11，a12，…，a1n，a21，a22，…，a2n，……，am1，am2，…，amn]T = b=（s1，s2，…，sm，d1，d2，…，dn）T 则运输问题的线性规划可以写成： min z=CTX s.t. AX=b X≥0 其中A矩阵的列向量 aij=ei+em+j ei和em+j是m+n维单位向量，元素1分别在在第i个分量和第m+j个分量的位置上。A矩阵中的行与运输网络中的节点对应，前m行对应于发地，后n行对应于收地；A矩阵的列与运输网络中的边对应。 运输问题除了用网络表示及线性规划表示外，还可以用运输表表示： 1 2 … n 1 c11 c12 … c1n s1 x11 x12 … x1n 2 c21 c22 … c2n s2 x21 x22 … x2n … … … … … … … … … … m cm1 cm2 … cmn sm xm1 xm2 … xmn d1 d2 … dn 表 4.1 表的行与发地对应，列与收地对应。第i行与第j列交叉的一格与网络的一条边对应（也就是与线性规划约束矩阵的一列对应），每一格的左上角小方格内的数字表明从相应的发地i到收地j的运价cij，每一格右下角表明从相应的发地i到收地j的运量xij。表右方表明各发地的供应量si，表下方表明各需求第的需求量dj。每一行运量之和表示从该发地运往各收地的运量之和，它应该等于该发地的供应量；同样，每一列运量之和表示从各发地运往该收地的运量之和，它应该等于该收地的需求量。 运输问题的网络图、线性规划模型以及运输表之间的关系可以用下表表示： 网络图 线性规划模型 运输表 节点 发点i 约束 前m个约束 表的行 收点j 后n个约束 表的列 边 从节点i到节点j 变量xij，列向量aij 表中的一格 例4.1 以下的运输问题线性规划、网络图和运输表表示同一运输问题。 min z= 8x11 +5x12 +6x13 +7x21 +4x22 +9x23 s.t. x11 +x12 +x13 =15 x21 +x22 +x23 =25 x11 +x21 =10 x12 +x22 =20 x13 +x23 =10 x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥0 1 2 3 1 8 5 6 15 x11 x12 x13 2 7 4 9 25 x21 x22 x23 10 20 10 表 4.2 §4.2 运输问题约束矩阵的性质 4.2.1 约束矩阵的秩 运输问题约束矩阵A的秩为m+n-1。 证明：因为A矩阵的前m行和后n行之和分别等于向量（1，1，…，1），因此秩Am+n。 考虑A的一个子矩阵A’=[a1n，a2n，…，amn，a11，a12，…，a1n]，即 A’= 删除A’中的第m+n行和第m+n列，得到 A’’= 容易看出，秩A’’=m+n-1。由此 m+n-1=秩A’’≤秩A