[理学]第五章 几种典型的代数系统.pptVIP

因此Si∪Sj是Si和Sj的上界。 对于任意Si , Sj 2U，有Si Si∪Sj，Sj, Si∪Sj， 类似地可以证明，对任意 ，glb(si,sj)=si∩sj 因此2U， 是一个格 另一方面，集合的并运算和交运算和2U构成代数系统 　　2 U；∪；∩，因为运算∪和∩都满足交换律，结合律 和吸收律，因此2U；∪；∩是一个格。 则必有Si∪Sj S。因此Si∪Sj是Si和Sj的最小 上界。即lub(Si，Sj)= Si∪Sj。 若有S 2U，使得 Si S ，Sj S， 例6 设U={a,b,c} 则2U={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 三 子格 定义5-17 设L；∨,∧是格，如果T；∨,∧ 是L；∨,∧ 的子代数，则称T；∨,∧ 是L；∨,∧ 的子格。 格2U； 对应的代数系统形式的格是2U；∪，∩. 子格也是一个格。 令 S1={{b},{a,b}{b,c},{a,b,c}} S2={φ,{a},{ c},{a, c}} S3={φ,{a},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} S1；∪，∩是2U；∪，∩的子格。 S2；∪，∩也是2U；∪，∩的子格。 S3不能与这两个运算构成2U；∪，∩的子格。 φ {a,b,c} {a,c} {b,c} {a,b} {a} {c} {b} 2 6 1 12 练习5-5 1． 设 L = {1，2，3，4，6，12}，在L上定义 整除关系，构成偏序集L; ≤。 （1） glb(6,4)= ; lub(2,3)= ； （2） 该偏序集的最小元素是 ， 最大元素是 。 12 6 4 3 2 1 3 4 1 10 （1） glb(6,9) = ; glb(8,12) = .； （2） glb(9,7) = ; lub(5,10) = .。 12 2．设L={1，2，3，…，11，12}，在L上定义 整除关系，构成偏序集. 8 4 2 1 10 5 6 3 9 7 11 下面给出的三个次序图，其中哪些是格？在图 下方相应的括号内键入“y”或“N”表示肯定或否定。 ( ) ( ) ( ) N Y Y Y Y N N 4．对下图所给出的格判断以下子集是否能构成它的 子格。在相应的括号内键入“Y”或“N”来回答 （1）S1={e,c,b} ( ) （2）S2={d,b,a} ( ) （3）S3={c,d,b} ( ) （4）S4={c,d,a} ( ) e d c b a 定理5-9 设 是一个群，H是G的一个非空子集，若对于任意 ，有 ，则 是 的子群。 证明 设a∈H，则由定理5-9的条件 由e,a∈H,则 又设a,b∈H，由上证得b-1∈H，因此 , 即a*b∈H , 于是根据定理5-8，H；*是 G；*的子群。 解 显然H是G的非空子集。 例2 设G； 是一个群，a是 G中任一元素，令 即H是a的所有整数次幂的集合，问H对于运算能否构成G； 的子群？ （1）对任意ai,aj H，有ai aj=ai+j 因为i+j I， 所以ai+j H； （2）对任意 ai H , 有a ai=ai a =a0=e,,即a 是 ai 的逆元， 又由