[理学]第2章 拉格朗日方程.ppt

取圆柱中心O为动点，动系与三角块固连， 定系与水平面固连，则O点的绝对速度 其中 所以，系统的动能 将以上表达式代入 整理得到系统的 微分方程 例25.5 如图所示系统中，均质圆柱B的质量 ，半径R=10cm,通过绳和弹簧与 质量 的物块M相连，弹簧的刚度系数 ,斜面的倾角 。假设圆柱B滚 动而不滑动，绳子的倾角段与斜面平行， 不计定滑轮A，绳子和弹簧的质量，以及轴承 A处摩擦，试求系统的运动微分方程 解：取整个系统为研究 对象。圆柱B作平面运动 物块M作作平动，定滑轮 A作定轴转动 M A B 系统有两个自由度，选圆柱B的质心沿斜面向 上坐标 及物块M铅垂向下的的坐标 为广 义坐标，其原点均在静平衡位置。如图 A M B 因为作用在系统 上的主动力重力 和弹 性力均为有势力 所以可用拉格朗日方程式求解 若选弹簧原长处为势能零点，则系统的 势能 故系统的拉氏函数 求各偏导数： 系统的动能 选静平衡位置为势能零点，故弹性力静变形 的势能与重力势能相互抵消， 于是系统的势能 故系统的拉氏函数 求各偏导数 将以上的表达式代入 整理得到系统的微分方程 代入已知值 ∴ 即：广义冲量等于广义动量的增量 六. 冲击运动的拉格朗日方程 对拉氏方程积分 很小 ） 广义冲量 *七. 不完整约束 自由度广义坐标数, 即有的 不相互独立. 自由度数 个完整约束 个非完整约束 利用广义坐标可建立第一类拉格朗日方程，数学上属于条件极值问题. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 EXIT 惯性基 B1的连体基 广义坐标 C2相对坐标 t = 0 滑块离开斜面 滑块相对斜面的速度 定常数 降阶的动力学方程 2.5 解题指导 拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程。 （1）用拉氏方程解题的步骤 ? 分析体系的约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程的条件； ? 判定体系的自由度，选取适当的广义坐标； ? 写出体系的动能T，势能V和拉氏函数L，并将L表成 和t函数： ； ? 将L代入拉氏方程，得出体系的运动微分方程； ? 解方程并讨论。 在半径为R的光滑圆环上穿有一质量为m的小球，圆环以恒定角速度ω绕竖直直径转动。求小球的运动微分方程。 （2）范例 [例1] 质点在旋转圆环上运动 解：小球在随圆环转动坐标系中自由度为1，以θ为广义坐标，其动能和势能为 L函数 (势能以O为零势能位置) 代入L方程，得运动微分方程为 [例2] 移动的摆杆 如图2.9所示，均质杆AB长为b，质量为m，光滑斜面的倾角为β，滚轮A的质量忽略不计。试用拉氏方程建立系统的运动微分方程。 解：自由度=2, 选取广义坐标x; 动能 势能（O为零势能位置） L函数 代入拉氏方程，得 [例] EXIT 一双质点摆，摆球P1与P2的质量分别为m1与m2，摆长分别为l1与l2 试利用拉格朗日第二类方程建立该双质点摆的动力学方程 [解] EXIT 惯性基 广义坐标 自由度为2 导数 动能 摆球坐标 EXIT EXIT 主动力广义力 EXIT 双质点摆的动力学方程 [例3] 约束单摆的运动 如图2.10所示，摆长为L质量为m1的单摆可在竖直平面内摆动。另一质量为m2小球置于半径为R的半圆形底座上，并套 在单摆的OA杆上，可沿OA自由滑动。假设m1和 m2可视为质点，OA杆的质量及一切摩擦忽略不计。 求单摆的运动微分方程及微振动周期。 如图，有 势能（O为零势能位置） 解：体系的自由度为1、广义坐标选为 代入拉氏方程，得 微振动时， ，上式简化为 或 上式即所求的体系微振动微分方程，式中 为圆频率，微振动周期为 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/例 [例] EXIT 一单摆B2（不计）的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平行移动的滑块B1上 利用拉格朗日第二类方程建立系统的动力学方程，且分析系统的运动 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 [解] EXIT 惯性基 滑块连体基 广义坐标 滑块速度 二自由度 动能 摆的速度 动点C2的速度 分析力学基础/拉氏第二类方程