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[理学]定积分的应用-定积分的几何应用2--空间立体的体积
第六章 第二节 定积分的几何应用(2) —— 空间立体的体积 一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答 一、主要内容 (一) 已知平行截面面积的空间立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A (x), A (x ) [a ,b ] 在 上连续, 则对应于小区间 [ , d ]x x + x 的体积元素为 d ( )d V A x x 因此所求立体体积为 b V ∫a A( x)d x (a b) (二) 旋转体的体积 旋转体就是由一 个平面图形绕这平面 内一条直线旋转一周 而成的立体．这直线 称为旋转轴． 情形1 平面图形G1 ：由连续曲线 y =f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴 所围成的曲边梯形. • G 绕x 轴旋转一周 y 1 y =f (x) 所得旋转体的体积 x 取积分变量为 ， G x a [b ,∈] 1 [ 在,a ]b 上任取小区间 O x x+dx x [ ,x x d ]x + ， 则以f (x) 为高， 以dx 为底的窄边矩形绕x 轴旋转而成的圆柱体 的体积便是体积元素： 2 y y =f (x) V df x [ xx ( π)] d ( ( )A x[截面积f x (π)] ) 2 G 1 G 绕x 轴旋转 O x x+dx x 1 的旋转体的体积： b 2 V [ f (x )] d xx (2.π1) ∫a G 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 1
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