[理学]周世勋量子力学习题及解答.docVIP

1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即 T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 ， （1） 以及 ， （2） ， （3） 有 如果令x= ，则上述方程为 ：x=0，取：x=4.97， 把x以及三个物理常量代入到上式便知 1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv， E=pc 在这里，利用了 以及 最后，对 1．3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。 解 根据 ， 有 这里，利用了 2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 可见无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： 在球坐标中 同向。表示向外传播的球面波。 可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 令，得 由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。 可见是所求几率最大的位置。 # 2.7 一粒子在一维势阱中 运动，求束缚态()的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为 按势能的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： ① Ⅱ： ② Ⅲ： ③ 整理后，得 Ⅰ： ④ Ⅱ：. ⑤ Ⅲ： ⑥ 令 则 Ⅰ： ⑦ Ⅱ：. ⑧ Ⅲ： ⑨ 各方程的解为 由波函数的有限性，有 因此 由波函数的连续性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 ∵ ∴ 即 为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式 # 解法三： (11)-(13) (10)+(12) (11)+(13) (12)-(10) 令 则 合并： 利用 # 解法四：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ： （χ≤0） Ⅱ： （0＜χ＜2） Ⅲ： （χ≥2） 束缚态＜＜ 因此 由波函数的连续性，有 (7)代入(6) 利用(4)、(5)，得 3.2.氢原子处在基态，求： (1)r的平均值； (2)势能的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1) (3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为 令 当为几率最小位置