[理学]§3 2条件分布.pptVIP

* §3.2 条件分布与随机变量的独立 一.离散型随机变量的条件分布律 二.连续型随机变量的条件分布函数 三.小结 条件分布的概念 本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的条件 概率分布的概念. 例如， 考察某大学的全体学生, 别以 和 表示其体重和身高， 变量， 它们都有一定的概率分布. 现在若限制 (米)， 在这个条件下去求 的条件分布， 这就意味着要从该校的学生中把身高 分 则 和 都是随机 在 1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来, 的学生中求其体重的分布. 易见, 然后在跳出 条件时的分布会有不同. 该分布与不加这个 一般地， 设 是一个随机变量， 其分布函数为 条件分布的概念 一般地， 设 是一个随机变量， 其分布函数为 若另外有一事件 已经发生， 并且 的发生可能会对 事件 发生的概率产生影响， 则对任一给定的实数 记 并称 为在 发生的条件下， 的条件分布 函数. 完 例1 设 服从[0,1]上的均匀分布, 求在已知 的条件下 的条件分布函数. 解 由条件分布函数的定义, 有 由于 服从[0,1]上的均匀分布, 故 而当 时, 当 时, 例1 设 服从[0,1]上的均匀分布, 求在已知 的条件下 的条件分布函数. 解 当 时, 其中 为 的分布函数, 即 于是, 当 时 例1 设 服从[0,1]上的均匀分布, 求在已知 的条件下 的条件分布函数. 解 于是, 当 时 从而可得 完 二 随机变量的独立性 设 是随机变量 所生成的事件： 且 则有 一般地， 由于随机变量 之间存在相互联系， 而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量 的取值统计规律性. 在任何情况下， 因 随机变量 之间没有上述影响， 而具所谓的“独立性”， 如下定义. 定义 设随机变量 的联合分布函数为 我们引入 定义 设随机变量 的联合分布函数为 边缘分布函数为 若对任意实数 有 即 则称随机变量 和 相互独立. 关于随机变量的独立性， 有下列两个定理. 定理1 随机变量 与 相互独立的充要条件是 的生成的任何事件与 生成的任何事件独立, 对任意实数集 有 即, 定理1 随机变量 与 相互独立的充要条件是 的生成的任何事件与 生成的任何事件独立, 对任意实数集 有 即, 证明 略. 定理2 如果随机变量 与 相互独立， 则对任意 函数 均有 相互 独立. 证明 注： 上述结果可推广到 个随机变量的情形. 完 定理2 如果随机变量 与 相互独立， 则对任意 函数 均有 相互独立. 证明 令 对任意 记 则有定理1， 有 从而由定义知 与 相互独立. 证毕. 完 三 离散型随机变量的条件分布与独立性 设 是二维离散型随机变量， 其概率分布为 则由条件概率公式， 有 称其为在 条件下随机变量 的条件概率分 布. 类似定义在 条件下随机变量 的条件概率 当 类似定义在 条件下随机变量 的条件概率 分布. 注： 条件分布是一种概率分布， 它具有概率分布的 一切性质. 对离散型随机变量 其独立性的定 义等价于： 若对 的所有可能取值 有 即 则称 和 相互独立. 完 例2 (1) 求 时, 的条件概率 分布以及 时, 的条件 概率分布; (2) 判断 与 是否相互独立? 设 与 的联合概率分布如右表. 0 1 2 -1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1 解 (1) 在 时, 的条件概率分布为 例2 (1) 求 时, 的条件概率 分布以及 时, 的条件 概率分布; (2) 判断 与 是否相互独立? 设 与 的联合概率分布如右表. 0 1 2 -1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1 解 (1) 例2 (1) 求 时, 的条件概率 分布以及 时, 的条件 概率分布; (2) 判断 与 是否相互独立? 设 与 的联合概率分布如右表. 0 1 2 -1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1 解 (1) 例2 (1) 求 时, 的条件概率 分布以及 时, 的条件 概率分布; (2) 判断 与 是否相互独立? 设 与 的联合概率分布如右表. 0 1 2 -1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1 解 (1) 例2 (1) 求 时, 的条件概率 分布以及 时, 的条件 概率分布; (2) 判断 与 是否相互独立? 设 与 的联合概率分布如右表. 0 1 2 -1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1 解 (1) 又 故在 时, 的条件概率分布可类似求得 例2 (1) 求 时, 的条件概率 分布以及 时, 的条件 概率分布; (2) 判断 与 是否相互独立? 设 与