[理学]《微积分》第二篇第三章讲义 积分的应用.pptVIP

经济数学基础微积分 第二篇 第三章 积分应用 （3.1）常微分方程——微分方程中的未知函 数是一元函数时，称为常微分方程 （3.2）偏微分方程 （3）微分方程——含有未知函数的导数的函 数方程叫做微分方程。 1.微分方程的阶——未知函数的导数的最高 阶数称为方程的阶。 2.线性微分方程——未知函数及其各阶导数 都是一次的微分方程。 本课程仅讨论常微分方程。 是__阶常微分方程 二 例9： 解： 我们研究微分方程，就是为了求出它的解。 微分方程的求解过程就是确定方程中 未知函数的过程。 1、微分方程的解——一个满足方程的函数， 称为一个解。也称为特解。 2、微分方程的通解——含有任意常数c的解， 而且常数的个数等于方程的阶。 注：微分方程的解可以是由关系式g(x,y)=0 取定的隐函数。 （二）一阶可分离变量的微分方程 形如： 称为一阶可分离变量的微分方程。 解的步骤： 第一步，改写形式为： 第二步，分离变量为： 积分在经济分析中的应用、常微分方程 本章难点： 常微分方程 本章重点： 一、积分的几何应用 1、求曲线的方程 首先，回顾“导数”的几何 意义： “切线方程”为： 这就是已知曲线方程，求切线方程的问题。 我们知道，积分是求导数的逆运算， 所以我们可以反过来计算，即： 已知曲线的切线斜率： 可以用积分来求曲线的方程： 这就是求已知切线斜率的曲线方程 的问题。（具体例子见P－293 例1） 例1： 解： 于是所求的曲线方程为： y x O a b 回顾“导数”的几何意义： 2、用定积分求平面图形的面积 因此，平面图形的几何面积可以用 定积分来表示。 曲边梯形的面积。 y x O a b y x O a b 例2： 解： 先画出所围平面的草图 y x O 定理3.1的两个重要推论： y x O a -a y x O a -a 对称性 P14 P15 例3： 解： 由定理3.1的推论1，有 由定理3.1的推论1，有 例4：不用计算，比较下列定积分的大小 解： 下面讨论 y x O a b 例5： 解： 先画出草图，如下 y x O 2 1 由面积公式，有： 求平图形面积的一般步骤： (1) 画出所围平面图形的草图； (2) 求出各有关曲线的交点及边界点， 以确定积分上下限； (3) 利用定积分的几何意义（即围成平面 图形的各函数式），确定所求面积的 被积函数，并计算定积分． 例6： 解： 先画出草图，如下 y x O 1 由面积公式 二、 积分在经济分析中的应用 回顾：导数在经济分析中的应用 已知经济函数，可以用导数来求边际经济函数。 已知边际经济函数，可以用积分来求 原经济函数。 在这里，我们反过来： 总结如下： ⑴ 需求函数 ⑵ 成本函数 ⑶ 收入函数 ⑷ 利润函数 毛利 纯利 一般地，我们有统一的公式 由N－L公式，也可求出经济函数从a 到b的变动值（或称增量）。即 例7： 解： 例8： 解： 三、 微分方程 （一） 微分方程的有关概念 （1）方程——含有未知数的等式叫做方程。 （2）函数方程——含有未知函数的等式叫做 函数方程。