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SAS软件与应用统计 第五章 SAS多元统计分析 多元统计分析是统计学的重要应用工具，SAS实现了许多常用的多元统计分析方法。SAS用于多变量分析的过程有PRINCOMP(主分量分析)，FACTOR(因子分析)，CANCORR(典型相关分析)，MDS(多维标度过程)，MULTTEST(多重检验)，PRINQUAL(定性数据的主分量分析)，CORRESP(对应分析)，用于判别分析的过程有DISCRIM(判别分析)，CANDISC(典型判别)，STEPDISC(逐步判别)，用于聚类分析的过程有CLUSTER(谱系聚类)，FASTCLUS(K均值快速聚类)，MODECLUS(非参数聚类)，VARCLUS(变量聚类)，TREE(画谱系聚类的结果谱系图并给出分类结果)。我们这一章介绍最常见的多元统计方法，更详细的资料请参考《SAS系统SAS/STAT软件使用手册》。 5.1 多变量分析 现实中的统计对象经常用多个指标来表示，比如人口普查，就可以有姓名、性别、出生年月日、籍贯、婚姻状况、民族、政治面貌、地区等，企业调查，可以有净资产、负债、盈利、职工人数、还贷情况等等。多个指标(变量)可以分别进行分析，但是，我们往往希望综合使用这些指标，这时，有主分量分析、因子分析等方法可以把数据的维数降低，同时又尽量不损失数据中的信息。 5.1.1 主分量分析 1. 理论介绍(选讲，学生可以自己看) 主分量分析的目的是从原始的多个变量取若干线性组合，能尽可能多地保留原始变量中的信息。从原始变量到新变量是一个正交变换(坐标变换)。设有X＝(X1…Xp)是一个p维随机变量，有二阶矩，记(＝E(X)，∑＝Var(X)。考虑它的线性变换 易见 i，j = 1，…，p 如果要用Y1尽可能多地保留原始的X的信息，经典的办法是使Y1的方差尽可能大，这需要对线性变换的系数l1加限制，一般要求它是单位向量，即l1l1＝1。其它的各Yi也希望尽可能多地保留X的信息，但前面的Y1…Yi-1已保留的信息就不再保留，即要求Cov(Yi, Yj)＝0，j＝1…，i-1，同时对li也有lili＝1的要求，在这样的条件下使Var(Yi)最大。 设协方差阵∑的特征值为(1 ( (2 ( … ( (p ( 0，相应的单位特征向量分别为a1，a2，…，ap(当特征根有重根时单位特征向量不唯一)。这时X的第i个主成分为Yi＝aiX，i＝1，…，p，且Var(Yi)＝(i。记 A＝(a1，a2，…，ap)，，Y＝(Y1，Y2，…，Yp)，则A为正交阵，Y＝AX，Var(Y)＝(，且，其中(ii为(的主对角线元素。 主分量Yk与原始变量Xi的相关系数((Yk，Xi)称为因子负荷量（factor loading），可以证明 ，k，i = 1, …, p， ， 。 为了减少变量的个数，希望前几个Yi就可以代表X的大部分信息。定义为主分量Yi的贡献率,称为主分量Y1，…，Ym的累计贡献率。一般取m使得累计贡献率达到70%～80%以上。累计贡献率表示m个主分量从X1，…，Xp中提取了多少信息，但没有表达用它来恢复每一个Xi能恢复多少，为此定义m个主分量Y1，…，Ym对原始变量Xi的贡献率vi，vi为Xi对Y1，…，Ym的复相关系数平方，可以用公式计算(注意m＝p时vi(1)。前m个主分量Y(m)＝(Y1…Ym)，在X的m个线性组合中能对X最好地线性逼近。 在上面的主分量计算方法中，方差越大的变量越被优先保留信息，实际中为了消除这种影响经常把变量标准化，即令 , i = 1，…，p 这时的协方差阵就是X的相关阵R。这时，主分量的协方差阵是，其中为R的特征根；；Xi*与主分量Yk*的相关系数(因子负荷量)为，其中为R的对应(k*的单位特征向量；。 对于X的观测样本，设第t次观测为x(t)＝(xt1，…，xtp)，t＝1,…,n，把数据写成矩阵形式为 由得协方差阵∑的估计和相关阵R的估计，从或可以得到主分量分解。计算特征值和单位特征向量，仍记为和a1，a2，…，ap，用Y＝aiX作为X的第i主分量，而Y(t)＝x(t)A称为第t个观测的主分量得分。结果得到的主分量得分矩阵为＝XA。可以把的前几列作为维数压缩后的数据。在SAS的PRINCOMP中计算主分量得分时如果主分量分解是用相关阵得到的则原始自变量要先标准化(减去均值并除以标准差)，如果分解用的是协方差阵则计算主分量得分时只对原始变量中心化(减去均值)。 2. 用PRINCOMP过程计算主分量分析(不要求掌握) SAS的PRINCOMP过程有如下功能： ( 完成主分量分析。 ( 主分量的个数可以由用户自己确定，主分量的名字可以用户自己规定，主分量得分