[工学]第六讲 线性方程组之迭代求解.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (1) Jacobi method: 上标代表迭代的次数 ， 设初始值为 根据(6.2) 式有 …. …. …. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4 注 三、迭代法的收敛条件 三、误差估计 Example: 用迭代法求解下列方程组： 解：先重排方程组的順序 ，使 根据上面的排列有： 设初始值为 (6.2) 分量迭代格式为 迭代5次达到精度要求。 但注意 Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下： 3.超松弛(SOR)法 迭代9次达到精度要求。 迭代5次 故一般取 为最佳松弛因子。 松弛法计算过程如下： 一、矩阵的谱半径 §3.迭代法的收敛条件 一阶定常迭代法的基本定理： 问题为：迭代矩阵B满足什么条件时，迭代产生的序列 一些常用基本概念 1 2 3 线性方程组的迭代方法 第一节 引言 第二节 基本迭代法 1.Jacobi迭代法 2.Gauss_seidel迭代法 3.SOR迭代法 第三节 迭代法的收敛性 第四节 分块迭代法 第六章 解线性方程组的迭代法 本章主要讨论系数阵为大型稀疏阵线性方程组的 迭代解法。 上一讲曾讨论了系数阵为大型稠密矩阵的线性方程组的直接解法。 从定义上讨论迭代法与直接法有： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的 方法(不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷列 去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解） 从应用上讨论迭代法与直接法有： 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。 迭代法 则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。 基本要求： 1.熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用； 2.熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代 法的计算公式以及它们的收敛条件； 3?.熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件； 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本讲介绍单步定常线性迭代法。 a11x1+ a12x2+…+ a1nxn=b1 a21x1+ a22x2+…+ a2nxn=b2 …… an1x1+ an2x2+…+ annxn=bn 从第一个方程解出 x1, 第二个方程解出 x2,…,最 后一个方程解出xn ，记成 对一般方程组,用 (iterative method )迭代求解 Ax=b 即 但并不是所有的都收敛到解！ 三个主要迭代方法 主要解决如下几个问题： 设有 其中，M为可以选择的非奇异矩阵，且M x = d 要求容易分解，一般选择为A的某种近似， 称M为分裂矩阵 1.雅可比(Jacobi)迭代法 于是得到 于是有分量形式为： 分量迭代格式为 迭代9此达到精度要求。 故如果序列收敛, 则收敛到解X* Jacobi迭代法的计算过程如下： 2.高斯—塞德迭代法(Gauss_seidel) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *