[工学]测量平差 第三章.pptVIP

§3-2协方差传播律 从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系 可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误 差的关系。 解法一 （1）、列函数式, 由图知: （2）、线性化 （3）、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式 （4）.计算点位方差 解法二 由C点纵、横向方差求点位方差 如图AC边上边长方差称为纵向方差 , 而在它的垂直方向的方差称为横向方差 。 横向方差是由AC边的坐标方位角α的方差引起的, 由图知 点位方差为 §3-４权与定权的常用方法 一、权的定义 称为观测值Li的权。权与方差成反比。 3.权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精度的作用，一个问题只选一个?0。 4.只要事先给定一定的条件，就可以定权。 * 第三章 协方差传播律与权 在实际工作中，经常间接测量某些量，待求量通过间接测量的方程式 获得。通过测量获得量 的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量y 的数值。 本章将要讨论的问题是：测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据的测量误差，现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 一．常见问题举例 1．如图，观测了一个三角形的三个内角L1,L2,L3.将其闭合差ω平均分配后的各角的平差值为： A B C L2 L1 L3 即：平差值是对过观测值计算得到的，如果已知观测值的中误差，怎么求平差值中误差？ A B C L2 L1 α0 2．如图，在侧方交会中，已知A，B两点的坐标(XA,YA)和(XB,YB)，它们之间的距离为S0，坐标方位角为α0，由交会的观测角L1,L2求交会点的坐标： XC,YC的中误差与L1,L2的中误差之间的关系是什么？ 二．本章将要阐述的问题 数学期望和协方差的基本概念； 协方差传播律的一般公式； 权、权阵、协因数阵； 协因数传播律。 §3-1数学期望的传播 数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义式为： 数学期望的传播规律： 常数c的数学期望为E（c）=c 随机变量X乘以常数c，则有 随机变量 之和的数学期望为 相互独立的随机变量 之积的数学期望为： 一、观测值线性函数的方差 设有n维观测向量X，其数学期望μ和协方差阵分别为： 设有n维观测向量X的函数Z为：Z=KX+K0,求DZZ＝？ 式中K为系数阵，K0为常数。 根据方差的定义得： 上式的纯量形式为： 当向量中的各分量两两独立时，它们之间的互协方差为０， 以上三式称为：协方差传播律。 例1: 设 ，已知 ， 求 的方差 。 例2:若要在两已知点间布设一条附和水准路线,已知每公里观测中误差等于±5.0mm,欲使平差后线路中点高程中误差不大于±10mm,问该路线长度最多可达几公里? 例3：设在测站A上（如图），已知∠ABC=α，设无误差，而观测角β1和β2的中误差为σ1＝σ2＝1.4秒，协方差σ1２＝－1秒，就角x的中误差σx 二、多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测向量n维X，其数学期望和协方差阵已知： 若有X的t个函数： 若有X的r个函数： 可得： Y关于Z的互协方差阵： 例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1、L2、L3，其中误差为?，将闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例4：设有函数， 已知 求 三、非线性函数的情况 设有观测值X的非线性函数： 已知： 将Z按台劳级数在X0处展开： 例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知点无误差，测角中误差为m?，边长中误差ms，试推导P点的点位中误差。 A B P ? ms s mu mp 协方差传播应用步骤: 根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 应用协方差传播律 a1 b1 a2 b2 a b aN bN 1（s) 2(s) … N(s) A B TP1 TP2 TPN-1 §3-3协方差传播在测量中的应用