高考数学文科一轮复习题组训练：第七篇 立体几何 第2讲（人教A版）.docVIP

第2讲　空间几何体的表面积与体积 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1.(2013·广东卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)． A.　　　　　　　 B.　　　　 C.　　　　　　　 D．1 解析　由三视图可知该三棱锥的底面是边长为1的等腰直角三角形，高为2.由锥体的体积公式可知V＝××1×1×2＝. 答案　B 2．(2013·湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于(　　)． A.　　　 B．1　　　　 C.　　　 D. 解析　易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为的矩形．正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为. 答案　D 3.(2014·许昌模拟)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)． A．4π　　　　　　 B.π　　　　 C．3π　　　　　　 D．2π 解析　由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表＝2×π×2＋π×1×1＝. 答案　B 4.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)． A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，S△AGD＝SBHC＝××1＝，V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A. 答案　A 5．(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)． A.π　　　 B．4π　　　　 C．4π　　　 D．6π 解析　如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，OM＝＝，即球的半径为，V＝π()3＝4π. 答案　B 二、填空题 6．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________． 解析　由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，所以几何体的体积为16π－16. 答案　16π－16 7．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________． 解析　设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知πR3＝，R3＝，而R＝. 由于3a2＝4R2，a2＝R2＝×2＝3，a＝. 答案　 8．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析　设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则 ∴h＝＝＝. 圆锥的体积V＝π·12·＝π. 答案　π 三、解答题 9．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)： (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解　(1)这个几何体的直观图如图所示． (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体． 由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积 S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)， 体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)． 10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 解　如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为 V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－ πr3＝πr3， 将球取出后，设容器中水的深度为h， 则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为 V′＝π2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r. 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 一、选择题 1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，ASC＝BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(　　)． A．3　　　 B．2　　　 C.　　　 D．1 解析　由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，SAC，SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BDSC于D点，连接AD，易证SC平面ABD，因此V＝××()2×4＝. 答案　C 2.(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为(　　)． A．3　　　　　　 B．7＋3 C