[理学]高等数学ppt22.pptVIP

* 盐城工学院高等数学课题组 * * 盐城工学院高等数学课题组 §2.2 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式 一、函数的和、差、积、商的求导法则 设函数u=u(x)、v=v(x)及w=w(x)在点x具有导数 ，分别考虑这些函数的和、差、积、商对x的导数. 定理1 如果函数 u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且 证明：设f(x)=u(x)+v(x) (1) (2) (3) 定理1 中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形.例如，设u=u (x)、v=v(x)、w=w(x)均可导，则有 在法则(2)中，当v(x)=C(C为常数)时，有 例 求 同理可得 例 求 同理可得 例 求 二、反函数的导数 简单的说: 反函数导数等于直接函数导数的倒数. 定理2 如果函数x=f(y)在区间 内单调、可导且 ，则它的反函数 在区间 内也可导，且 或 证:由于x=f (x)在 内单调、可导(从而连续), 由第一章第九节定理2知道， x=f (y)的反函数 存在， 且 在 内也单调,连续, 任取 ，给x以增量 由 的单调性可知 于是有 因 连续，故 从而 解：设x=siny为直接函数， y=arcsinx为其反函数, 例4 求函数y=arcsinx的导数. 同理可得： 例5 求y=arctanx的导数. 解： 同理可得： 当a=e时： 例 定理3 如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为 或 三、复合函数求导 证明：由于y=f(u)在点u可导，因此 存在，于是根据与无穷小的关系有 根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当 时， ，从而可以推知 又因u=g(x)在点x可导，有 例 求 例 求 例 求 解： 四、基本求导法则与导数公式 1、常数和基本初等函数的求导公式： 2、函数的和、差、积、商的求导法则