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高等数学方法选讲 一元微积分部分 第1章 函数、极限与连续 第2章 一元函数微分学 第3章 一元函数积分学 第4章 常微分方程 多元微积分部分 第5章 多元函数微分学 第6章 重积分 第7章 曲线积分与曲面积分 第8章 无穷级数 安徽工程大学数理学院 第1章 函数、极限与连续 常见题型： 题型 1 函数性质（奇偶性周期性单调性有界性）题型 数列极限的判定或题型 n项和的数列极限题型无穷小的比较无穷小的阶题型 函数在某点的极限连续的判断题型 求极限题型 口诀：函数概念五要素，定义关系最核心。，则函数的定义域为 。 二、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 口诀：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b)内，若，则单调增加。若，则单调减少。 口诀：单调增加与减少；先算导数正与负 3. 可导奇函数的导函数为偶函数，可导偶函数的导函数为奇函数，可导周期函数的导函数为周期函数。注意见例2。 4. 有极限则局部有界。闭区间上连续函数必有界（可导更好，但开区间未必），开区间内部连续端点有极限则有界，闭区间上单调函数必有界，闭区间上可积函数必有界。 5.有界函数与有界函数之和、积均为有界函数。注意无界与极限无穷大的关系。 6. 若函数满足f(a-x)=f(a+x)且f(b-x)=f(b+x) ,即函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称又关于直线x=b对称(a不等于b), 则其周期T=2a-b|。 7.任意定义在对称区间上的函数均能唯一地表示成偶函数与奇函数之和。 例1 函数是（ D ） (A)有界函数 (B)单调函数 (C)周期函数 (D)偶函数 例2 设，则下列结论正确的是( A ) (A)若为奇函数，则为偶函数 (B)若为偶函数，则为奇函数 (C)若为周期函数，则为周期函数 (D)若为单调函数，则为单调函数 解 (B)不成立，反例。(C)不成立，反例 (D)不成立，反例。(A)成立。为奇函数，，为偶函数。 例3 设函数，，试讨论它们在各自定义域上的有界性。【前者有界，后者无界。】 例4 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 (A) (B) (C) (D) 解 ∵，∴单调减少 于是xb，则有，故(A)成立。 例5 求。 解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是。 例6 设在上满足，（为常数，一般称此条件为李普希斯条件，注意此时函数必连续），证明在上有界。 证明：由条件知，，故： ， ， 可见在上有界。 三、有关复合函数、反函数等 1. 已知，求或。 2. 已知和，求。 例1 已知和，求。 解： 例2 已知，且，求 解：令，则，，。 例3函数的反函数为 ． §1.2 极限 求极限包括求函数极限与求数列极限，方法很多，从极限定义到初等变形，从四则运算法则到洛必达法则，从连续、积分到级数，不下十余种。 一、利用无穷小量求极限 1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)； 2.等价无穷小代换； 3.无穷小的阶的比较。 口诀：无穷小量要记牢； 极限连续常用到； 等价代换不可少； 加减看清高阶好。 例1 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 例2 =___________ 解：原式 例3 设当时是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（Ｂ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 类例：设当时，是的等价无穷小，则 。 例4 设，则当x→0时，是的 ( Ｃ ) (A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小 例5 计算。 解：原式 （注意不要忘了基本的运算法则等） 二、利用两个极限准则求极限 准则1 单调有界数列极限一定存在。 准则2 夹逼定理。 例1 设，，证明存在，并求其值。 解 ∵，∴(几何平均值≤算术平均值) 用数学归纳法可知n1时，，∴有界。 又当时， ∴，则单调增加。根据准则1，存在 把两边取极限，得(舍去) 得，故。 例2 设，满足：,证明收敛，并求 解: （1） 证明：易见， 从而有： ， 故单调减少，且有下界。所以收敛。 （2