[理学]高等代数 第八章 若当标准形.docVIP

第八章 若当标准形 一、本章知识脉络框图 二、本章重点及难点 矩阵的相似问题一直是高等代数中的重点研究对象，除了前面所谈到的化矩阵为对角形的方法外我们还可以从其他渠道探讨这个问题.比如，周知~存在可逆矩阵使得.但是寻找可逆矩阵往往是件比较困难的工作，因此我们可论证等价性成立：（或论证它们有相同的标准形），那么就相当于~ ；此外，对不能对角化的矩阵我们也可以研究将其化成上（下）三角形或准对角形──若当（Jordan）标准形. 作为理论准备，矩阵的标准形理论是本章的重点之一. 通过矩阵的初等变换求其标准形是最基本的要求；了解矩阵的不变因子、行列式因子以及初等因子这三个重要概念并掌握它们的性质、相互之间的关系和求法等技术方面的工作，是本章的关键.讨论矩阵的相似标准形是本章的主要目的. 本章的难点有如下几个方面： 掌握矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子这三个重要概念以及它们的性质、关系和求法； 理解并掌握两个数字矩阵与相似的充分必要条件，以及数字矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件； 充分发挥最小多项式的性质在讨论矩阵的相似标准形中的作用； 掌握矩阵的Jordan标准形的求法、性质及其应用. 三、本章的基本知识要点 （一）矩阵的概念和性质 1.设是一个数域，是一个文字，如果矩阵的每个元素都是的多项式，即 =，那么，就是一个关于的多项式矩阵，简称为矩阵.如果 ，则称为阶矩阵. 2. 如果在矩阵中，有一个阶子式不为零，一切阶子式（如果存在）全为零，则称的秩为，记为. 注意： ① ； ② 若是一个数字阶矩阵，则必有. 3. 设是阶矩阵，若存在阶矩阵使得 则称是可逆的，并称是的逆矩阵，记为. 4．注意： （1）一个阶矩阵是可逆的充要条件为行列式：. （2）若是可逆时，则有，其中是伴随矩阵. （3）在数字矩阵中，阶矩阵是可逆的充分必要条件是行列式（即是满秩矩阵），但对于矩阵来说，当矩阵的行列式时，矩阵未必是可逆的，即满秩的矩阵未必是可逆的. （二）初等矩阵 1、由阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换得到的阶矩阵称为初等矩阵.其有三种不同的类型，分别是、与，而且都是可逆矩阵，且逆矩阵仍是同类的初等矩阵. 2、对的矩阵进行一次初等行变换，相当于在的左边乘上相应的阶初等矩阵；而对进行一次初等列变换，就相当于在的右边乘上相应的阶初等矩阵. 3．矩阵可逆的充分必要条件是可表成一系列初等矩阵的乘积. 4．注意： (1) 由于在矩阵的第二类型的初等变换中，不允许用一个非常数的多项式去乘或除矩阵的某一行（列），这导致了矩阵的初等变换与数字矩阵的初等变换在性质上有些区别，这请读者充分注意. (2) 等价的矩阵具有相同的秩、行列式因子、不变因子和初等因子. （三）矩阵的标准形 1．矩阵不变因子 设的矩阵的秩为，那么可经过一系列的初等变换化成对角矩阵 , 即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使 ， 其中是首一多项式，且 . 并称※式为矩阵的标准形.其中称为的不变因子. 注意：若是一个阶数字矩阵，则的特征多项式必有 （1）； （2）所有不变因子的次数之和. 2、矩阵的行列式因子 （1）设的矩阵的秩为，那么对于正整数的全部阶子式的首项系数为1的最大公因式，称为的阶行列式因子，记为. （2）不变因子与行列式因子之间的关系是： ，，……， （I） （3）两个矩阵等价的充分必要条件是它们具有相同的不变因子或相同的各阶行列式因子. （4）阶可逆矩阵的各阶行列式因子是，进一步，的不变因子是 ， 从而知道矩阵的标准形是单位矩阵.即可逆的矩阵的标准形是单位矩阵，反过来，如果矩阵与单位矩阵等价，那么一定是一个可逆矩阵. 3. 矩阵的初等因子与阶数字矩阵的初等因子 （1）把矩阵的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算），称为的初等因子. 特别地，如果为阶数字矩阵，的特征矩阵的初等因子习惯上称为的初等因子. （2）设为阶数字矩阵，若特征矩阵等价于下列的对角形矩阵（不一定是标准形） ， 其中都是首一多项式. 那么将分解成互不相同的一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是的全部初等因子. 4. 不变因子、行列式因子与初等因子之间的关系 矩阵的不变因子、行列式因子与初等因子之间存在有密切关系，它们之间可以互相导出. （1）如果已知不变因子，直接使用定义可得到初等因子，利用上面的关系式（I）可导出行列式因子. （2）如果已知行列式因子，同样可以利用关系式（I）导出不变因子，从而得出初等因子. （3）如果已知矩阵的秩及其初等因