[理学]01绪论2.pptVIP

* * 一、误差的来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是： 其中 g 为重力加速度。 §2 误 差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差） 例如，当函数 用Taylor多项式 近似代替时，数值方法的截断误差是 与0之间。 在 机器字长有限 —— 舍入误差 用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位 ? = 3.1415926… 小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来 代替位数较多的有限小数，如： 四舍五入后…… 在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！ 二、 误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限 例 :若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。 1.45米的 绝对误差=？ 不知道！ 是近似值 的绝对误差,简称为误差。 定义：设 是准确值，为 的一个近似值，称 但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ， 即 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限 就可以知道 的范围为 即 落在 内。 在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。 2、相对误差与相对误差限 定义：设 是准确值， 是近似值，是近似值的误差， 通常取 为近似值 的相对误差，记作 ， 称 一般情况下是不知道 的，怎么办？ 事实上，当 较小时 是 的二次方项级,故可忽略不计. 相应地，若正数 满足 则称 为 的相对误差限。 3 、有效数字 定义：如果 则说 近似表示 准确到小数后第 位，并从这 由上述定义 第 位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都 称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。 定义 : 也即，若 有 位有效数字。 则称 其中， 是1到9中的一个数字； 是 0到9中一个数字； 为整数，且 若近似值 的误差限是某一位的半个单位, 该位到 的左边第一位非零数字共有 位, 就说 有 位有效数字。 取 作 的近似值， 就有三位有效数字； 取 作 的近似值， 就有五位有效数字。 例如： 注： 若一近似数是由原真值经四舍五入得到， 则必为有效数. 4 、误差限与有效数字的关系 则 至少具有 位有效数字。 Th1： 对于用 式表示的近似数 ，若 具有 位有效 数字，则其相对误差限为 反之，若 的相对误差限为 例：为使 的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 ?* 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足 已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n 6 ? log6，即 n ? 6，应取 ?* = 3.14159。 三、 数值运算的误差估计 1、四则运算 两个近似数 与 ,其误差限分别为 及 ,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为 2、函数误差估计 当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。 设 是一元函数， 的近似值为 ,以 近似 ，其误差限记作 ，可用Taylor展开 介于 之间.取绝对值得 假定 与 的比值不太大,,可忽略 的高阶项,于是可得计算函数的误差限为 当 为多元函数时计算 ,如果 的近似值为 ,则 的近似为 于是函数值 的误差 由Taylor展开, 得： 于是误差限为 而 的相对误差限为 (1.3.1) (1.3.2) 例:已测得某场地长 的值为 ,宽 的值为 ,已知 , .试求 面积 的绝对误差限与相对误差限. 解: 因 其中 由式(1.3.1)得 而 于是绝对误差限为 相对误差限为 §3 误差定性分析与避免误差危害 1、算法的数值稳定性 例：求 的值. 解：由于 初值 递推公式 按公式就可以逐步算出 注意此公式精确成立 What happened