[教育]2011年考研数学《概率统计》讲义第四讲.pptVIP

* 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 ? 数学期望及其性质 ? 方差及其性质 ? 协方差与相关系数 分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 【引例1】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分， 击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。 II I III 枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为 现射击N次,其中得0分的有 次,得1分的有 次,得2分的有 次, 于是,射击N次的总分为 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 从而,每次射击的平均分为 在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时,频率 接近于概率 ,故当N很大时, 这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算术平均 接近于 称后者为随机变量X的数学期望(均值). 设 X 为离散 r.v. 其分布为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 离散型r.v.的数学期望 绝对收敛, 则称 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 试评定甲乙成绩的优劣。 〖解〗这是离散型随机变量。由数学期望定义得： 由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。 □ 【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其 分布律分别为 例2 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) 常见 离散型r.v. 的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np π(?) ? 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 定义 连续型r.v.的数学期望 河南理工大学精品课程 概率论与数理统计 求E(X)。 〖解〗这是连续型随机变量。由数学期望定义得： □ 分段函数的积分 【例3】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为 例4 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 常见 连续型r.v. 的数学期望 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数 绝对收敛，则 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 绝对收敛, 则 若广义积分 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为 Z = g(X ,Y ), 绝对收敛 , 则 若级数 设连续 r.v. (X