1.31单调性.pptVIP

三．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： * 如图为某地区2010年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图： 问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？ 问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 如图为某地区2010年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图： 问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？ 问题2：怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ t1 t2 f(t1) f(t2) 如图为某地区2006年元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图： 问题3：对于任意的t1, t2∈[4,16]时，当t1 t2时，是否都有f(t1)f(t2)呢? 一般地，设函数y ＝ f(x) 的定义域为I，区间D I． 如果对于区间D内的任意两个值x1、x2，当x1＜x2时，都 有f(x1)＜f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数， D称为y＝f(x)的单调增区间． 单调增函数 单调性是针对定义域的某个区间而言的，是一个局部性质 思考： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数 的概念吗？ 二、新知探究 解析法 图像法 通俗语言：在区间（0，+∞）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。 数学语言：在区间（0，+∞）上， 任取 ，得 当 时，有 。 这时我们就说函数 在区间（0，+∞）上是增函数 … 16 9 4 1 0 … f(x) … 4 3 2 1 0 … x 列表法 如何描述函数图像的“上升”“下降”呢？ （1）如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。 区间D叫做y =f(x)的单调区间 在单调区间上，增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的。 0 y x1 x2 f(x2) f(x1) 0 y x1 x2 f(x2) f(x1) x x · · · · y随x的增大而减小 当x1＜x2时， f(x1) f(x2) y随x的增大而增大 当x1＜x2时， f(x1) f(x2) 数量特征 从左至右，图象下降 从左至右，图象上升 图象特征 y=f(x) y=f(x) 图象 在区间I内 在区间I内 注意： 1.单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质，但是在单个点处不研究单调性 2.有些函数在定义域内可能是单调的如 y=x， 有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上是减函数，如 还有的函数是不单调，如y=c 3.若函数 f(x)在其定义域内的两个区间A,B上单调，但在A∪B上不一定单调 例2. 写出单调区间 x y _____________ , 讨论1： ？ 不能 ——数形结合的思想 y o x o y x y o x 在(-∞,+∞)是减函数 在(-∞,0) ，(0,+∞)是减函数 在 增函数 在 减函数 y o x y o x y o x 在(-∞,+∞)是增函数 在(-∞,0) ，(0,+∞)是增函数 在 增函数 在 减函数 要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。 思考：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则能说明函数 f (x)在R上是增函数吗？ a) x 1, x 2 取值的任意性;不能以特素质代替 b) 必须有大小，一般令 c)同属一个单调区间 y x O 1 2 f(1) f(2) 证明： 1 取值： 任取 x1，x2∈D，且x1x2； 2 作差：f(x1)－f(x2)； 3 变形：通常是因式分解和配方； 4 定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性． 任取 x1,x2 [0，+∞）,且x1 x2， 则： 由0≤ x1 x2 得 于是 f(x1)-f(x2)＜0。 即 f(x1)＜f(x2) 所以函数