[理学]第七章 空间解析几何与向量代数.pdfVIP

第七章 空间解析几何与向量代数 空间解析几何是平面解析几何的推广，两者有许多类似之处． 首先建立空间直角坐标 系，然后将空间中的点与有序三元实数组一一对应，将空间几何图形与代数方程或方程组对 应，这样就可把几何的问题化为代数的问题进行研究． 空间解析几何的知识是学习多元函 数及其微积分的重要基础． 由于空间一个点需要用有序三元实数组表示，无疑在空间解析几何中问题的讨论要复杂 许多，所以在建立平面和空间直线方程时，还需借助于向量代数的工具．向量代数也是物理 学中很重要的基础知识． 7．1 空间直角坐标系 7．1．1 空间直角坐标系 在空间取一定点 O ，称为原点，过点 O 作三条互相垂直且有相同单位的数轴，依次称 为 x 轴 （横轴）、y 轴 （纵轴）、z 轴 （竖轴），统称为坐标轴． 这样就建立了一个空间直角 坐标系， 称为 Oxyz 坐标系( 图 7 ．1)． 三条坐标轴的正方向通常规定符合右手规则：以右 π 手握住 z 轴，当右手的四个手指从 x 轴正向以 角度转向y 轴正向时，大拇指的指向就是 z 2 轴的正向（图 7 ．1）． 图 7．1 图 7．2 三条坐标轴中的每两条所决定的平面称为坐标面，由 x 轴和 y 轴所确定的坐标面称为 xOy 面，同样还有 yOz 面及 zOx 面． 三个坐标面分整个空间为八个部分，每一部分称为一 - 193 - 个卦限 （图 7．2）． 7． 1．2 点的直角坐标 在空间直角坐标系中，设 M 为空间任意一点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴 的三个平面，分别交三坐标轴于三点P ，Q ，R ．设点P ，Q ，R 在 x ，y ，z 轴上的坐标 分别为x ，y ，z ，则称有序三元实数组（x ，y ，z ）为点M 在 Oxyz 坐标系中的坐标，并依次 称 x ，y 和 z 为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标．显然，空间一个点M 在 Oxyz 坐标系中惟 一地确定了有序三元实数组（x ，y ，z ）．反之，对每三个实数按一定顺序排列的有序数组（x ， y ，z ）也在空间惟一地确定一点M （图7 ．1）．这样，空间的点和有序三元实数组（x ，y ，z ） 之间便建立了一一对应关系．坐标为（x ，y ，z ）的点M 记作 M （x ，y ，z ）． 一些特殊点的坐标：原点的坐标为 (0 ，0，0) ；x 轴上点 P 的坐标为（x ，0，0 ）；点 Q 和点 R 的坐标分别为（0，y ，0 ） 和（0，0，z ）；xOy 面，yOz 面及 zOx 面上的点 N ，K ，H 的坐标分别为（x ，y ，0 ），（0，y ，z ），（x ，0，z ）．此外，每个卦限中的点的坐标符号为：I (+，+，+) ，II (-，+，+) ，III (-，-，+)，IV (+，-，+) ，V (+，+，-) ，VI (-，+，-) ，VII (-， -，-) ，VIII (+，-，-) ． 7．1．3 两点间的距离公式 现在推导空间两点间的距离公式，我们将看到它与平面解析几何中两点间的距离公式相 类似． 定理 1 空间两点M (x ，y ，z