概率论与数理统计第2版资源-宗序平 主编 概率统计41.pptVIP

§4.1 随机变量的数学期望 总 结 其中 称为 概率积分 一般地，若 X ,Y 相互独立，则 所以 E (c ) = c E (cX ) = c E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) . 常数 线性性质 三、数学期望的性质 逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立 若存在数 a 使 P(X ? a) = 1, 则 E (X ) ? a ； 若存在数 b 使 P(X ? b) = 1, 则 E (X ) ? b. 设 X 连续,p.d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x), 证 则 故 例13 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期望. 解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为 X P 0 1 2 3 解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4 Xi P 1 0 例14 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 p.d.f. 为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X) 解 由数学期望性质 X ,Y 独立 应用1 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为 解 0. 98, 因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事 故死亡保险, 参加者需交纳保险费100元.若10 年内 因事故死亡公司赔偿a 元, 应如何定 a ,才能使公司 可期望获益; 若有1000人投保, 公司期望总获益多少? 设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得 的收益, i =1~1000 . 则 Xi ~ 0.98 0.02 100 100 由题设 公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益. 公司期望总收益为 若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望 总获益40000元. 应用2 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X ~ U [ 2000,4000 ], 每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润最大？ 解 设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 y 4000 显然， 故 y=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元 应用3 设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~ N (? ,1).已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系： 问平均直径 ? 为何值时, 销售一个零件的平均利润最大？ 解 即 可以验证， 零件的平均利润最大. 故 时, 销售一个 补 充 作 业 设 g(x) 是取正值的非减函数, X 为连续型 r.v., 且 E( g(X) )存在， 证明: 对任意常数 a 柯西 Augustin-Louis Cauchy 1789 - 1857 法国数学家 柯 西 简介 法国数学家 27岁当选法国科学院院士 早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果. 在概率论中他给出了有名的柯西分 布. 然而他一生中最重要的数学贡献在 另外三个领域：微积分学、复变函数和 微分方程. 柯西在代数学、几何学、误差理论以及 天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色 的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数 学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础. 在这三个领域中我们常常能见到以柯西 名字命名的定理、公式和方程等: 柯西积分定理; 柯西积分公式; 柯西-黎曼方程; 柯西判别法则; 柯西不等式; 柯西初值问题 * * 第四章 第四章 随机变量的数字特征 扬州大学数学科学学院 宗序平 r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况— 方差 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数 条件期望与条件方差 特征函数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征. 判断