概率论与数理统计第2版资源-宗序平 主编 概率统计51.pptVIP

* * 第五章 大数定律与中心极限定理 瑞士 策马特峰 扬州大学数学科学学 院 第五章 大数定律与中心极限定理 本章要解决的问题 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答复 大数 定律 中心极 限定理 定理1 设 r.v. X 的数学期望为 E( X )=?，方差为DX=?2，则对于任意实数 ? 0,有 证 §5.1 大数定律 一、契比雪夫( chebyshev)不等式 或 当 ? 2? D(X) 无实际意义, 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k) 存在，则对于任意实数 ? 0, 推论 1 ——马尔可夫 ( Markov ) 不等式 由契比雪夫不等式, 得 P{│X－14│＜4}≥1－35/3/42≈0.271, 所以 P{10＜X＜18}≥0.271. 例5－1 已知随机变量X的期望E(X)＝14, 方差 D(X)=35/3, 试估计P{10＜X＜18}的大小. 解 P{10＜X＜18}=P{10－E(X)＜X－E(X)＜18- E(X)} ＝P{－4＜X－14＜4}＝P{│X－14│＜4} 例5－2 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解:由契比雪夫不等式 令 例5－3设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75) 要使 ，求 n 即 即 由 Chebyshev 不等式，? = 0.01n ,故 令 解得 定义1 存在一常数a ，满足 (或 常数 a , 记作 是一系列 r.v. 设 若 二、大数定律 则称 r.v. 序列 依概率收敛于 称随机变量序列 满足弱大数定律。 推论1 则 a = b. 这与经典高等数学中极限性质是一致的。 设X1, X2, …, Xn, …是随机变量序列，若 定理1.(Chebyshev大数定律) 相互独立， 设 r.v. 序列 (指任意给定 n 1, 相互独立) 则 有 或 推论2(辛钦大数定律)设随机变量X1, X2,…, Xn, … 相互独立且服从同一分布, E(Xi)=μ , 则 即n个相互独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于随机变量的期望值。 需要指出的是辛钦大数定律可以去掉 这个条件. 推论3(贝努里Bernoulli 大数定律) 设 ?n 是 n 次独立重复贝努里试验中事件 A 发生的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则 有 或 证 引入 r.v. 序列{Xk} 设 则 相互独立， 记 由 Chebyshev 不等式 故 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 大时, 可以用频率近似代替 p . 贝努里(Bernoulli)大数定律的意义 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 与 p 有较大偏差 的概率是指：频率 是小概率事件,因而在 n 足够 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从 0 -1分布B(1,p)的 r.v. 序列{Xk} 的算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立r.v. 序列。 推论4 (Poission大数定律)设μn是前n次独立重复试 验中事件A发生的次数,pn是事件A在第n次试验中事件A发生的概率, 则有 推论5 (Markov大数定律) 设X1, X2, …, Xn, …为随机 变量序列, 且 则 其中 称为Markov条件。 其中 定理2 (格涅坚科大数定律) 随机变量序列{Xn}满 足弱大数定律的充分必要必要条件为: 相互独立具有 设 r.v.序列 则 有 相同的分布，且 记 则 则 连续， 若