第3章 矩阵的初等变换与线性方程组PPT.pptVIP

;§3.1 矩阵的初等变换; 首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程组也称等价方程组;;得到同解方程组(就是解);(3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，;如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵 A 与 B 行等价。记为 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵 A 与 B 列等价。记为 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵 A 与 B 等价。记为; 下面形状的矩阵称为(行)阶梯形矩阵; 只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形，从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形唯一。;例1; 对于矩阵A，用初等变换必能将矩阵A化为如下等价标准形：;例2;;§3.2 初等矩阵; 把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。;ú; 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。;(左行右列原则);;;;例1;例2;根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”;在推论 1 中如果 A 可逆, 右边的标准形是什么？; 设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2，A-1 可分解为初等矩阵的乘积：; A 与 B 等价(即 )的充要条件是存在可逆矩阵 P 和 Q 使得;设 即有初等矩阵 使得;例3;的解;回忆第 1 节用 Gauss 消元法是这样做的:;矩阵方程 AX=B (假设 A 可逆)，如何求解？;例4;;;;§3.3 矩阵的秩; 在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式.; 矩阵A的非零子式的最高阶数, 称为A的秩, 记做r(A).规定:零矩阵的秩是零.;回答下面问题：;初等变换不改变矩阵的秩。;(2);例如;(4) 以上证明了初等行变换不改变矩阵的秩，即 r(PA) = r(A) (P是初等矩阵)，考虑转置 r(ATPT) = r(AT) 即知初等列变 换也不改变矩阵的秩。证毕。;如何求矩阵的秩？;例1;例2;秩的重要性质;(4)的证明:;证;永远是奇异矩阵;;则;;§3.4 线性方程组的解;解方程组; 第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。; 第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。;对于非齐次方程组;;例2;写出等价方程组并移项:;令;例3;令; （当系数矩阵为方阵时还可用行列式法，此法往往简单，建议当系数矩阵为方阵时首选行列式法）;例4;分析：当 时有唯一解，当 时，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。此时系数矩阵中的参数已确定，只能用初等变换法加以判别。;通解为;例5;下面我们把方程组的情况推广到矩阵方程;例6;当 r(A) = m , Am×n X n×m= Em 时, X 必是列满矩阵.