函数的一般研究　.pptVIP

第一章 函数;四种有限区间： 1)[a,b] 表示{x|a≤x≤b}，叫闭区间； 2)(a,b) 表示{x|a＜x＜b}，叫开区间； 3)(a,b] 表示{x|a＜x≤b}，叫左开右闭区间； 4)[a,b) 表示{x|a≤x＜b}，叫左闭右开区间。 五种无限区间： 1)[a,+∞) 表示{x|x≥a}； 2)(a,+∞) 表示{x|x＞a}； 3)(-∞,a] 表示{x|x≤a}； 4)(-∞,a) 表示{x|x＜a}； 5)(-∞,+∞) 表示实数集R； 注意：∞读作无穷大，以正负无穷大为端点的区间必须是开区间。 ;2. 函数概念 定义　如果x,y是两个变量，当x在某个范围D中任意取定一个数值时，按照一定的法则f，y总有唯一确定的值与它对应，则称变量y为变量x的函数。记作 y＝f(x)，x∈D. 其中：x─自变量 　　y─因变量或函数值 　　D─函数的定义域 　　所有的y值组成的集合称为值域。 函数的两要素 定义域 D 对应法则 f 两函数相等是指： ①定义域相同 ②对应法则相同;[重点提示] 求函数定义域的方法： 对函数的每一部分，按 ⑴分母不为０ ⑵偶次根式中被开方式≥０ ⑶对数式中真数＞０ ⑷除去正余切函数无意义的点 分别解出自变量的取值范围，然后取其公共部分。;例1.1 已知函数 求它的定义域。 解：由x＋2≥０解得x≥-2 由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为 ｛x｜-2≤x＜2.5且x≠1｝ 或表示为 [-2,1）∪（1,2.5) ;例1.2 判断下列函数是否为同一函数： ⑴　f(x)＝sin2x＋cos2x g(x)＝1 ⑵ g(x)＝x＋1 ⑶ g(x)＝x＋1 ⑷ y＝ax2 s＝at2 解：⑴、⑷是同一函数，∵定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。 ⑵不是同一函数∵它们的定义域不相同。 ⑶不是同一函数∵它们的值域不相同。 ;３.分段函数 　分段函数是指在定义域的不同范围内，对应法则不同的函数，例如P.8例1.3 　 　　18, 0≤x≤60,x∈Z 　　　 y= 　 　　18＋0.1(x－60),　x＞60,x∈Z 　　⒋ 函数的表示方法 　　⑴解析法（公式法） 　　⑵图示法 　　⑶表格法 　　5. 隐函数 　　隐函数是指对应关系无法写成y＝f(x)的形式的函数，如x2+y2＝a2;㈡、函数性质的研究 [提示] 学员应逐步熟悉下面这种叙述定义或定理的方法 ⒈　奇偶性 定义 设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称，若对于任意的x∈D，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为D上的偶函数，如果都有f(-x)＝-f(x)，则称f(x)为D上的奇函数，否则称为非奇非偶函数。 例如：f(x)＝x2是偶函数 f(x)＝x3是奇函数 偶函数的图象关于y轴对称, 奇函数的图象关于原点对称;[重点提示] 判断函数奇偶性的方法： ⑴分解合成法 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×偶＝奇， 奇×奇＝偶，偶×偶＝偶 常数函数为偶函数，幂函数xn当n为奇数时为奇函数，当n为偶数时为偶函数，三角函数中sinx、tgx、ctg x为奇函数，cosx为偶函数 例如：y＝1+x2 (偶) y＝x-x3 (奇) y＝xcosx (奇) y＝xsinx (偶) y＝x2cosx (偶) y＝1/x (奇) ⑵定义检验法 以y＝ex+e-x为例 ∵f(-x)＝e-x+e-(-x)＝ex+e-x＝f(x) 　∴f(x)＝ex+e-x为偶函数;补充例题：P.23 5 求证:两个偶函数的积是偶函数。; ⒉　单调性 定义 如果函数y＝f(x)对于某区间(a,b)内的任意x1,x2，当x1＜x2时总有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递增，区间(a,b)称为f(x)的单调递增区间；如果总有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递减，区间(a,b)称为f(x)的单调递减区间。 如果上述定义中的≤可改成＜，则称f(x)为严格单调递增，≥可改成＞，则称f(x)为严格单调递减， 在整个定义域内都(严格)单调递增的函数称为(严格)单调递增函数，(严格)单调递减的函数称为(严格)单调递减函数。; [重点提示] 判断函数增减的方法： ⑴解析法 例如判断y＝1-x3的单调性 设x1,x2∈R，且x1＜x2 则x2-x1＞0， 　　 f(x1)＝