反比例函数(含答案).docVIP

例1 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式． 解： 依题意，由两个函数解析式得 所以一次函数和反比例函数的解析式分别为 注意：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决． 例 2 已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，并且x=-1时，y=1；时，.求时y的值. 解方程组 注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y1与x+1成正比例，y2与x2成反比例，即把x+1与x2看成两个新的变量． 典型例题四 例 （上海试题，2002）如图，直线分别交、轴于点、，是该直线上在第一象限内的一点，轴，为垂足， （1）求点的坐标； （2）设点与点在同一个反比例函数的图象上，且点在直线的右侧．作轴，为垂足，当与相似时，求点的坐标． 解：（1）由题意，得点，点. 设点的坐标为，其中 由题意，得 解得或（舍去） 而当时，，∴点的坐标为. （2）设反比例函数的解析式为. ∵点在反比例函数的图象上，∴，. ∴反比例函数的解析式为. 设点的坐标为，点的坐标为，其中， 那么，. ①当∽时，，即， ∴，解得或（舍去）. ∴ 点的坐标为. ②∽ 时，，即， ∴，解得或（舍去）. ∴点的坐标为. 综上所述，点的坐标为或. 典型例题五 例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）. 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，，它也可变形为及的形式，（4），（5）就是这两种形式. 典型例题六 例 如图，双曲线与直线相交于A，过A作轴的垂线AB，垂足为B.如果： （1）求两个函数的解析式； （2）若直线交轴于C，求.（1998年甘肃省中考题） 解 ：（1）设点A的坐标为(m,n)，那么. ∵ ， ∴ 又， ∴. ∴ 双曲线：，直线：. （2）解由，组成的方程组，得，； ∵ 点A在第二象限， ∴点A的坐标为（）. ∴，. 在中，y=0时,x=4, ∴点C的坐标为(4,0)，OC=4. ∴BC=OB+OC=. ∴. 典型例题七 例 已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D.. （1）求反比例函数的解析式： （2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）当△OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由. 解：（1）过点B作轴于点H. 在中， 由勾股定理，得. 又， ∴ 点B（－3，－1）. 设反比例函数的解析式为. ∵ 点B在反比例函数的图象上， ∴ . ∴ 反比例函数的解析式为. （2）设直线AB的解析式为. 由点A在第一象限，得. 又由点A在函数的图象上，可求得点A的纵坐标为. ∵ 点B（－3，－1），点， ∴ 解关于、b的方程组，得 ∴ 直线AB的解析式为. 令 . 求得点D的横坐标为.过点A作AG⊥x轴于点G. 由已知，直线经过第一、二、三象限， ∴ ，即. 由此得 ∴ 即 (3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3. 证明如下： 由， 得 . 解得 经检验，都是这个方程的根. ∵ ， ∴ 不合题意，舍去. ∴ 点A（1，3）. 设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为. ∴ 由此得 即 设抛物线与x轴两交点的横坐标为. 则 . 令 则 整理，得 . ∵ ∴ 方程无实数根. 因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3. 典型例题八 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． 　　(1) [ ]； 　　(2) [ ]； 　　(3) [ ]； 　　(4) [ ]； 　　(5) [ ]； 　　(6) [ ]； 　　(7) [ ]； 　　(8) [ ]； 　　(9)xy越来越小，y与x的关系 [ ]； 　　(10) [ ]． 说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义。 答： 典型例题九 例 已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随x的增大而减小，求m的值． m2-m-6=0，(m-3)(m+2)=0． 由此得m=3或m=-2．而当x＜0时，y随x的增大而减小，则k＞0． 当m=3时，m2-5m-6=-