立体几何强化训练20题.doc

立体几何备考训练20题 1.如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，．平面； (2) 求与平面所成角的正切值．[来源:学科网]平面且 所以平面； (2)作交AB于点D，连接 因为平面所以AB， 所以所以平面 所以作交于点M，则即为所求， 在Rt中有 所以与平面所成角的正切值为．中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．平面； (2)求二面角的余弦值． 所以平面； 以DS为X轴，DC为Y轴，如立空间直角坐标系，则： 设平面BFS的法向量为[来源:Zxxk.Com]3.如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2. （Ⅰ）求证：AB∥平面MCD； （Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值． .解:（Ⅰ）证明：取CD中点O，因为△MCD为正三角形，所以MO⊥CD. 由于平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.又因为AB⊥平面BCD， 所以AB∥MO.又AB?平面MCD，MO?平面MCD，所以AB∥平面MCD. （Ⅱ）连接OB，则OB⊥CD，又MO⊥平面BCD. 取O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示．OB＝OM＝，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)． ＝(－1,0，)，＝(－1，－，2)． 设平面ACM的法向量为n1＝(x，y，z)， 由得 解得x＝z，y＝z，取z＝1，得n1＝(，1,1)．又平面BCD的法向量为n2＝(0,0,1)， 所以cos〈n1，n2〉＝＝.设所求二面角为θ，则sinθ＝. 4.如图，四边形为，，，又，，，直线与直线所成角为． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 由直线与直线所成角为，得 ，即，解得． ∴，，， 设平面的一个法向量为，则， 即，取则，得， 设与平面所成角为，则，于是与平面所成角的正弦值为．---------12分 5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点. （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.解法：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系. 设则相关的各点坐标为： （Ⅰ）易知因为 所以 而是平面内的两条相交直线，所以 ……6分分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得. ……8分，所以四棱锥的体积为 . ……12分 如图，四边形ABCD为正方形，，，AB=PA=4，BE=2． （）求证：； （）求PD与平面PCE所成角的正弦值； （）在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，求；不存在，说明理由． 解：（）设为，． 因为//，且，， 所以//且， 所以四边形为平行四边形． 所以//，且． 因为正方形，所以//，， 所以//，且． 所以四边形为平行四边形． 所以//．　　 因为平面，平面， 所以//平面．　　……………………4分 （）如图建立空间坐标系则， ，，， 所以，， ． 设平面的一个法向量为， 所以． 令，则，所以． 设与平面所成角， 则． 所以与平面所成角的正弦值． ………………8分 （），则，． 设平面的一个法向量为， 则． 令，则， 所以． 因为平面平面， 所以，即， 所以， 点． 所以． ……………………12分 7.正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角. （Ⅰ）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论. 解：（Ⅰ）平面DEF，EF平面DEF. ∴AB∥平面DEF. ---- 4分 （Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分 平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为 则 即， ， ∴二面角E—DF—C的余弦值为； ---- 8分 （Ⅲ）设 又， 把， ∴在线段上存在点，使． ----12分 8.如图，中，底面为矩形， 为等边三角形，，点为中点平面. （1）求异面直线和所成角的余弦值； （2）求二面角的大小 解：取的中点，连接，为等边三角形， ，又平面平面，……2分 以为原点，过点垂直