1991考研数三真题及解析.docVIP

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设则 _______. (2) 设曲线与都通过点且在点有公共切线,则 _______, _______, _______. (3) 设,则在点 _______处取极小值 _______. (4) 设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 _______. (5) 设随机变量的分布函数为 则的概率分布为 _______. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 设则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设为阶可逆矩阵,是的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一是( ) (A) (B) (C) (D) (4) 设和是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A) 与不相容 (B) 与相容 (C) (D) (5) 对于任意两个随机变量和,若,则 ( ) (A) (B) (C) 和独立 (D) 和不独立 三、(本题满分5分) 求极限 ,其中是给定的自然数. 四、(本题满分5分) 计算二重积分,其中是由轴,轴与曲线所围成的区域,. 五、(本题满分5分) 求微分方程满足条件的特解. 六、(本题满分6分) 假设曲线：、轴和轴所围区域被曲线：分为面积相等的两部分,其中是大于零的常数,试确定的值. 七、(本题满分8分) 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为和；销售量分别为和；需求函数分别为和,总成本函数为 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？ 八、(本题满分6分) 试证明函数在区间内单调增加. 九、(本题满分7分) 设有三维列向量 问取何值时, (1) 可由线性表示,且表达式唯一? (2) 可由线性表示,且表达式不唯一? (3) 不能由线性表示? 十、(本题满分6分) 考虑二次型.问取何值时,为正定二次型. 十一、(本题满分6分) 试证明维列向量组线性无关的充分必要条件是 , 其中表示列向量的转置,. 十二、(本题满分5分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求的概率分布. 十三、(本题满分6分) 假设随机变量和在圆域上服从联合均匀分布. (1) 求和的相关系数;(2) 问和是否独立? 十四、(本题满分5分) 设总体的概率密度为 其中是未知参数,是已知常数.试根据来自总体的简单随机样本 ,求的最大似然估计量. 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】 【解析】方法一：先求出两个偏导数和,然后再写出全微分, , 所以 . 方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算. . (2)【答案】,, 【解析】由于曲线与都通过点则 , 又曲线与在点有公切线,则,即 , 亦即,解之得 ,,. (3)【答案】； 【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式可知, . 对函数求导,并令,得 , 解之得驻点,且 故是函数的极小值点,极小值为 . (4)【答案】 【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有 , 由对应元素或块相等,即 从和均为可逆矩阵知.故应填. (5)【答案】 0.4 0.4 0.2 【解析】因为随机变量的分布函数在各区间上的解析式都与自变量无关,所以在的连续点,,只有在的间断点处取值的概率才大于零,且 ,则 , 因此的概率分布为