33 逆矩阵.pptVIP

第三章 矩阵的运算 第三节 逆矩阵 在实数运算中，若a≠0，则总能找到一个数 b, 使得ab=ba=1，称b为a的逆。 【例1】设对角矩阵 二、逆矩阵的运算性质 P55 定理1 n阶方阵A可逆的充要条件是 【例2】设 【例3】设 判断A是否可逆，若 可逆， 求其逆。 推论 若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B P61 均可逆，且 【例4】已知n阶方阵A满足A3 +A2-A-E=0, 证明 A可逆，并求A-1 【例5】 设方阵A满足 练习：1、已知n阶方阵A满足 A2 +2A-3E = 0, 求（A+4E ）-1 2、已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3, 求(E-A)-1 【例6】设A、B为 n阶方阵，E为单位阵 , 证明 若E-AB可逆， 则E-BA也可逆 【例9】Cramer法则的另一种证明方法 * 本节要点： 掌握逆矩阵的定义及求法 熟悉逆矩阵、伴随矩阵的性质 在矩阵的运算中，单位阵E 相当于数的乘法运 算中的1，那么，对于矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 则矩阵 B称为A 的逆矩阵。 使得 定义1 对于n阶方阵A，若存在矩阵B，使得 则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并称B为A的逆矩阵。 ,即 记为 一、逆矩阵的定义 P53 定义1的说明： （1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵 （2） A、B互为逆矩阵。 （3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的 ( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E 于是B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C ） 即若 则 例如 则 =E 且 =E 所以A可逆，B为A的逆矩阵 即 ，同时 证明A可逆，且 P53 证明：因为 =E =E 所以，A可逆，且 3、若A可逆，则 可逆，且 2、若A可逆，则 1、若A可逆，则 4、若A可逆，数 则 可逆,且 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 6、若A可逆，则 3、若A可逆，则 可逆，且 证明： 且 即 故 可逆，且 7、若A可逆，且AB=AC,则B=C 证明运算性质 4、若A可逆，数 则 可逆，且 证明： 且 即 故 可逆，且 注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立 5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且 证明： 且 即 故AB可逆。且 证明： 6、若A可逆，则 且当A可逆时 证明 则存在 ，使得 必要性：已知A可逆， 又因为 充分性：已知 ，由关系式 三、逆矩阵相关定理 P54 即A可逆，且 A是非奇异矩阵 当 A 可逆时，求A-1 什么条件时，方阵 A可逆？ 试问：a,b,c,d满足 A可逆. 这时 解 当 时， P54 设矩阵 ，E为2阶单位矩阵，矩阵 B满足BA=B+2E，求B 06数四： 由题设，有 B(A-E)=2E 于是有 解： 解： =5≠0 ，A可逆。 且 所以 证明： 因为A、B为同阶方阵且AB=E 有 由定理2·1知，A、B均可逆 在等式AB=E的两边左乘 得 在等式AB=E的两边右乘 得 证明： A可逆，且 由推论知： ，证明A及 A+2E可逆，并求它们的逆。 证明： 故A可逆，且 又 故A+2E可逆，且 =O =O P58:7 重要题型 解： （A+4E ）(A-2E) + 5E = 0 解： 可逆，且 由推论知： 证明： ∵ E-AB可逆， ∴ 存在n阶可逆矩阵C 使 ( E-AB) C = E， 因此有 ABC =C- E， 将上式左乘B，右乘 A得 B(ABC)A =B(C- E)A 整理得BCA- BA- B(ABC)A =O 两端同时加E整理得 (E- BA)+ (E- BA)BCA =E 即 (E- BA) (E+BCA) =E 所以 (E- BA)可逆，且(E- BA) -1=E+BCA 四、矩阵方程 通过整理后得以下三种形式 AX=C XA=C AXB=C 假设A、B均可逆 则 X=A-1C X=CA-1 X=A-1CB-1 【例7】设 解 于是 【例8】设ｎ阶矩阵Ａ，Ｂ满足Ａ＋Ｂ＝ＡＢ （1） 证明Ａ-E为可逆矩阵 （2） 证明ＡB = BA （3） 已知 求A 解：(1) 由已知 A -E +B -ＡＢ= -E A