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2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09 圆锥曲线(教师版)
【2013考纲解读】
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.
2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.
3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.
4.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.
【知识络构建】
【重点知识整合】
2.双曲线
(1)双曲线的定义;
(2)两种标准方程:-=1(a0,b0),焦点在x轴上;-=1(a0,b0),焦点在y轴上;
(3)双曲线方程的一般形式:mx2+ny2=1(mn0),其焦点位置有如下规律:当m0,n0时,焦点在x轴上;当m0,n0时,焦点在y轴上;
(4)双曲线的简单几何性质.
3.抛物线
(1)抛物线的定义;
(2)抛物线的标准方程;
(3)抛物线方程的一般形式:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=λx(λ≠0)表示;焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用x2=λy(λ≠0)表示;
(4)抛物线的简单几何性质.
【高频考点突破】
考点一 椭圆
1.定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|).
2.标准方程:焦点在x轴上:+=1(ab0);
焦点在y轴上:+=1(ab0);
焦点不确定:mx2+ny2=1(m0,n0).
3.离心率:e== 1.
4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为.
例1、过点C(0,1)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0).过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(2)当点P异于点B时,求证:·为定值.
所以D点坐标为(,-).
故|CD|==.
【变式探究】若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
【方法技巧】
1.涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题
(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a、b、c三者之间关系;
(2)要善于借助于图形分析问题;
(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用,尤其是配方法的使用.
2.直线与椭圆的位置关系问题
(1)判断方法:利用Δ0,Δ=0,Δ0可解决;
(2)弦长问题:|AB|=
=;
(3)中点弦问题:用点差法较简单.
考点二 双曲线
1.定义式:||PF1|-|PF2||=2a(2a|F1F2|)
2.标准方程:
焦点在x轴上:-=1(a0,b0),
焦点在y轴上:-=1(a0,b0),
焦点不明确:mx2+ny2=1(mn0).
3.离心率与渐近线问题:
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)e== 1,
注意:若ab0,则1e,
若a=b0,则e=,
若ba0,则e.
(3)焦点在x轴上,渐近线的斜率k=±,
焦点在y轴上,渐近线的斜率k=±.
(4)与-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).
例2、已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
【变式探究】设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|
为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 ( )
A. B.
C.2 D.3
【方法技巧】
1.使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上.
2.对于双曲线的离心率与渐近线的关系.若已知渐近线而不 明确焦点位置,那么离心率一定有两解.
3.直线与双曲线的交点比椭圆复杂,要注意结合图形分析.尤其是直线与双曲线有且只有一个交点?Δ=0或l平行于渐近线.
考点三 抛物线
1.定义式:|PF|=d.
2.根据焦点及开口确定标准方程.注意p0时才有几何意义,即焦点到准线的距离.
3.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A、B两点,则有:
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦公式:|AB|=x1+x2+p=.
(3)x1x2=,y1y2=-p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)+=.
例3、如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【变式探究】已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|B
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