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《空间向量与立体几何》一轮复习导学案（一）2017.12一．利用空间向量证明平行与垂直位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥α l⊥αn∥m? 平面α，β的法向量分别为n，mα∥β α⊥βn⊥m?n·m＝0[来源:学科网]【例1】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.【变式训练1】 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.二．利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则 (2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ= (3)求二面角的大小a．如图①，AB，CD是二面角α—l—β两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．b．如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝ 　【例2】 如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．【变式训练2】(2016·高考全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【例3】(2016·沈阳教学质量监测)如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F.(1)求证：BF⊥平面ACD；(2)若AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值．【变式训练3】（2014年全国I卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.(Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若，，AB=BC求二面角的余弦值.课后巩固练习ABFEDC1. （2016年全国I卷）如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．（I）证明平面ABEFEFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．2. （佛山市2016届高三教学质量检测（一））如图，三棱柱中，侧面侧面，，，，为棱H的中点，在棱上，面．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的余弦值．《空间向量与立体几何》一轮复习导学案（二）2016.12三．利用空间向量求点到平面的距离如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d= 【例4】如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：(1)与所成的角；(2)P点到平面EFB的距离；(3)异面直线PM与FQ之间的距离．【变式训练4】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图(1)，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图(1)求证：CD⊥AB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离．四.利用空间向量求解开放性问题【例5】如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD中点.(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由;(3)若二面角AB1EA1的大小为30°,求AB的长.【变式训练5】如图,正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求二面角EDFC的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE? 存在,求出的值; 不存在,请说明理由.课后巩固练习1.(2015·重庆卷)如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值．2.(2016·山西