函数的单调性与最值知识点习题.docVIP

1.3.1函数的单调性与最大（小）值 1、函数单调性的定义 设函数y=f(x)的定义域为I： 如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， （1）当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数： （2）当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。 注意：具有三个特征：①属于同一区间②任意性③有大小: 通常规定 练习：若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数，总有，则必有（ ） A．函数f(x)是先增后减 B. 函数f(x)是先减后增 C. 函数f(x)在R上是增函数 D. 函数f(x)在R上是减函数 2、函数的单调性区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 3、基本初等函数的单调性 （1）一次函数 反比例函数 （3）二次函数 练习：（1）函数的单调递增区间是 （2）函数在实数集R上是增函数，则（ ） A． B. C. D. 练习：下列四个函数中，在上是增函数的是（ ） A． B. C. D. 4、利用定义证明函数的单调性的步骤 （1）取值： （2）作差： （3）变形： （4）判断差的符号： （5）下结论 5、常用的单调性的结论 6、函数的最大(小)值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值：作出函数的图像，尤其是分段函数或解析式含有绝对值的函数，从图像直接观察可得最值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。 练习：（1）已知，则函数的最小值为 ，最大值为 。 考点1：函数单调性的证明 判断函数在 上是的单调性，并用单调性定义证明。 练习：（1）证明函数在R上是增函数 （2）求证函数上是减函数，在上是增函数 考点2：求函数的单调区间 ①利用图像求函数的单调区间 例2：画出函数的图像，并指出函数的单调区间。 变式：（1）作出函数的图像，并指出其单调区间。 求函数的单调区间 ②直接求函数的单调区间：利用已知函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等的单调性，直接写出所求函数的单调区间，或者将所给函数通过适当地变形，转化为可以利用已知函数的单调性进行判断的形式。 例3：求函数的单调区间 变式：求函数的单调区间 ③利用定义求函数的单调区间 例4：求函数的单调区间 ④求复合函数的单调区间 例5：求函数在定义域上的单调性 变式：（1）求函数的单调区间 已知函数，试求函数的单调区间。 考点3：利用函数的单调性求函数的最值 例6：已知函数，求当时的值域。 例7：求函数上的最值。 变式：（1）已知函数，，求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数. 求函数的最大值 已知. ①当时，判断并证明的单调性 ②当，求函数的最小值 考点4：利用函数的单调性比较大小 例8：已知函数对任意实数t都有，试比较的大小 练习：已知函数对任意实数t都有，试比较的大小的大小为 。 考点5：利用函数的单调性解不等式与求参数的取值范围 例9：已知函数在上是减函数，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 。 变式：已知函数是定义在上的单调增函数，不等式的x的取值范围是（ ） A． B. C. D. ?