习题2.3.docVIP

2.3 复指数函数 由复数的三角式 得到： ， ； 由复指数函数的三角式 得到： 复指数函数的模：，由，可推出 复指数函数的辐角： 复指数函数满足加法定理： 加法定理也可表示为： ； 下面说明没有幂的意义： 马上会学到乘幂，其中是不等于零的复常数，是任意的复常数， 对于乘幂，其幂的意义指的是：，其中是复对数； 而中，是复变数，不是复常数， 没有幂的意义指的是，不能表示为 ； 同样的，对于，是变量，不是常数， 也没有幂的意义，不能表示为 ； 从 可以看出， 复指数函数是单值函数； 从 看出： 复指数函数的周期为 ； 练习：证明 证： ， 其中： ， 复对数函数 满足 的 称为复对数函数； 复对数函数 ； 当是复数时，对数符号的第一个字母大写与小写意义不同， 大写表示复对数函数的全体，是多值函数， 小写表示复对数函数的主值，是单值函数； 记 ， ，则 成为 ， 比较上式的两端，得到： ，于是 是多值函数， 而是单值函数，称为复对数函数的主值： 练习：证明 证： 练习：说明是否等于 左边： 右边： 如果左边=右边，应 ，显然，当为奇数时，上式不成立， 于是： 同样的： ， 乘幂 在乘幂的计算中，与复对数函数的主值所对应的 乘幂值，称为乘幂的主值； 例如：求的主值 的主值； 例如：求的主值 的主值； 在 式中， ； 当为不等于零的复数时，得到： 令，则 将上式与式对比，得到： ； 幂函数 ，在整个复平面处处可导、处处解析； 是单值函数： 即： 是单值函数； 幂函数是多值函数： ， 当时，得到个不同的值； 以为例， 取，； 取，； 取，； 得到三个不同的值； 由于的各个分支 在除去原点和负实轴的复平面内解析， 而 ， 所以的各个分支 在除去原点和负实轴的复平面内解析， 且 ； 改错：倒数第四行； 复三角函数 练习 证明 的周期为 证： （因为复指数函数以为周期）； 练习 证明 是偶函数 证： ； 练习 证明 证： ； 当自变量为实数时，正弦、余弦函数有许多等式、不等式， 当自变量变为复数时， 所有等式都成立，所有不等式都不成立； 双曲正弦函数（或）： 读作 （或读作双曲正弦）； 双曲余弦函数（或）： 读作 （或读作双曲余弦）； 、没有周期性； 当时，，； 但、的周期为； 7