试题 立体几何试题.docVIP

(2009．山东高考)如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4,BC= CD= 2,AA1=2,E,E1 分别是棱AD，AA1的中点． (1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)证明：平面D1AC⊥平面BBlC1C [证明] (1)法一:平面ADD1A1∥FCC1，EE1包含于平面ADD1A1 ，所以，直线EE1∥平面FCC1 在平面D1AC内或平面BBlC1C内找一根直线垂直于另一个平面，至少垂直于另一个平面内的一条直线，以此入手，这是证明此类题的关键，AC⊥BC，AC⊥CC1，AC ⊥平面BBlC1C，平面D1AC⊥平面BBlC1C （P234,2009．浙江高考) （用到平移直线法，因为F为PB的中点,FM⊥面BOE不好求，PN⊥面BOE好求） 如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB．AC的中点，AC=16,PA=PC=10. (1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE; (2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥BOE，并求点M到OA、OB的距离． [证明] (1)如图，取PE的中点为H，连纯HG、HF. 因为点E，0，G，H分别是PA，AC．OC，PE的中点， 所以HG//OE，HF//EB.所以平面FGH//平面BOE． 因为FG在平面FGH内，所以FG//平面BOE． (2)在平面OAP内，过点P作PN⊥OE，交OA于点N，交OE于点Q．连结BN，过点F作FM∥PN，交BN于点M． ON=OP TAN∠NPO = OP * OQ/PQ=9/2 OA,(先求PQ,再求OQ)所以点N在线段OA上． 因为F是PB的中点，所以M是BN的中点,BO⊥NO 因此点M在△AOB内，点M到OA ,OB的距离分别为1/2 0B=4, 1/2 0N = 9/4 四、（p232考点1例题1） 如图；已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB，PC的中点，若∠PDA=45°， 求证：MN⊥平面PCD． 【证明】 法一：PA⊥平面ABCD → PA⊥AD，∠PDA=45→PA=AD=BC,又M是AB的中点， Rt△PAM≌Rt△CBM，MP=MC,N是PC的中点→MN⊥PC,设E是CD的中点，连接ME、EN, CD⊥平面PAD→CD⊥PD,PD∥NE→CD⊥NE，CD⊥ME→CD⊥平面MNE→CD⊥MN →MN⊥CD，MN⊥PC，PC∩CD=C→MN⊥平面PCD 法二：如图，取PD的中点F．连接AF，NF，AF⊥面PCD,AF∥MN，MN⊥平面PCD （用到平移直线法，因为N为PC的中点，MN平移到AF处，在证明垂直时常常用到直线平移法,上题也如此） 五（P253三 解答题10）(求二面角A-PC-D的大小，先过APC面上一个点A画线AE⊥二面角的另一个面PCD于点E,再过垂足E做直线EN⊥二面角的棱PC于垂足N,连接AN，∠ENA即为所求的二面角A-PC-D的平面角，第一步画出垂线是关键) 如图，四棱锥P - ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点． (1)求证：PB//平面EAC (2)若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值． 解：法一：(1)证明：连接BD交AC于点0，连接OE， 在三角形PDB中，OE // PB，又OE平面AEC， PB//平面AEC． 设AD =AB=PD=PA=a,侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD,CD⊥侧面PAD,CD⊥AE,AE⊥PD,AE⊥平面PDC，在平面PAC内做AN⊥PC于N，连接EN,∠ENA是二面角A-PC-D的平面角，∠AEN=90°，TAN∠ANE = AE/EN 两个平面互相垂直，在一个面内垂直于它们交线的直线即垂直于另一个平面，侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD交线，CD⊥面PAD,CD⊥PD,∠CPD=45°， 在Rt△PNE SIN∠CPE =EN/PE 和Rt△PDC中 SIN∠CPE = DC/PC EN=a,在等边△PAD中，AE= a,tan∠ANE=AE/EN = 六、(p254,12题）如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB,CB=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．。 (1)求证：AB∥平面DNC; (2)当