第四章(圆与方程).docVIP

圆与方程 【知识回顾】 1．圆的两种方程 （1）圆的标准方程 ，表示圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程． （2）圆的一般方程． ①当D2＋E2－4F＞0时，，-）为圆心,为半径的圆； ②当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）； ③当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．（二元二次方程表示圆的充要条件是什么？ （且且））； 2．点与圆的位置关系：已知点及圆， （1）点M在圆C外； （2）点M在圆C内； （3）点M在圆C上。 如：点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______ （答：） 3.直线与圆的位置关系： 直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交；相离；相切； （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，则相交；相离；相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 如：（1）若直线与圆切于点，则的值____ （答：2）； （2）直线被曲线所截得的弦长等于 （答：）； （3）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （4）如果曲线C：x2+（y+1）2=1与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a的取值范围是??　　　??? ．1-≤a≤1+.） 4．圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则 （1）当时，两圆外离； （2）当时，两圆外切； （3）当时，两圆相交； （4）当时，两圆内切； （5）当时，两圆内含。 如1：两圆和相切，则实数的值为 （答案：或0） 5.圆的切线与弦长： (1)切线：①过圆上一点圆的切线方程是：，过圆上一点圆的切线方程是：，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）；如 设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为__________ （答：）； （2）弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。 如1：圆与公共弦的长为 ） 如2：若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为 （答案：或） 如3：设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 . （答案：） （一般在线心距、弦长的一半和圆半径所组成的直角三角形中处理弦长问题：.） 如4. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) （答案：） 6．空间直角坐标系 任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标． 空间中任意一点到点之间的距离公式． 【题型归类】 题型一：求圆的方程 （解题思路：通过列三个方程来解标准方程与一般式方程的三个参数，可以利用相关几何知识减少计算量） 例1 ．求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标． 变式1：圆的一条直径的两个端点是(2, 0), (2, －2)，求此圆的方程 变式2：求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程 变式3：已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x－3y=0上，且在直线l2：x－y=0上截得的弦长为，求圆的方程。 题型二：圆的切线问题 例1 ．过圆(x－1)2+（y－1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A、B. 求经过两切点的直线方程：自点A（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆C：x 2 + y 2 －4x－4y +7 = 0相切，求光线L、m所在的直线方程． x＋y=与圆x2＋y2=r2相切，那么正