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关注几何直观促进数学思考 　　[摘要]借助几何直观，难懂的数学问题可以变得简单易理解，抽象的数学概念、公式可以变得生动形象.教师应该重视培养学生的几何直观意识. 　　[关键词]几何直观；数学；思考 　　[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]1674605820003102 　　《义务教育数学课程标准》提出要关注数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，展示数学的整体性.对于数与代数的内容，教材重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解和解决有关代数问题.几何直观是指人们借助见到的几何图形的形象关系，对数学的研究对象进行直接感知和整体把握.利用直观教学，了解其几何背景，不仅能引发学生的探索兴趣，更能激起学生积极思考的热情. 　　一、借助几何图形面积的计算，探索有关公式 　　1.合并同类项法则 　　【例1】如图1，大长方形由两个小长方形组成，用不同的形式表示长方形的面积. 　　从图1可以看出，这个长方形的面积可用代数式表示为5n+3n或n，从而5n+3n=n=8n.这就是说，在计算5n+3n时，可以先将它们的系数相加，再乘以n就可以了. 　　【例2】用不同的方法表示图2所拼长方形的面积S. 　　方法1：S=； 　　方法2：S=ma+mn+bn+ba. 　　从上图可看出=ma+mn+bn+ba.从而得出： 　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 　　3.完全平方公式 　　【例3】如图3，一块边长为a米的正方形，将其边长增加b米，形成一个新的正方形，用不同的形式表示新正方形的面积S. 　　方法1：S=2； 　　方法2：S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 　　从而得出2=a2+2ab+b2. 　　4.平方差公式 　　【例4】如图4、5，边长为a的大正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，分别计算图4、图5中阴影部分的面积S. 　　根据计算结果，探索规律. 　　在教学中，可先让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历“观察――比较――归纳――提出猜想”的过程.如果学生一时未能独立发现其中规律，可借助点阵的排列规律来帮助学生理解. 　　利用图6左图的点阵，可使学生从数与形的联系中发现规律，进而鼓励学生推测出1+3+5+7+…+19=102. 　　此后，还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出1+3+5+7+…+=n2，并加以验证. 　　三、借助数轴，直观地求解代数问题 　　1.不等式的解集 　　【例6】解不等式组. 　　3x-12x+12x8.② 　　解不等式，得x2；解不等式，得x4. 　　在同一数轴上表示不等式、的解集. 　　由数轴可知，所求不等式组的解集是：x4. 　　2.绝对值的几何意义 　　【例7】当x为何值时，式子|x-1|+|x+2|+|x-3|有最小值？ 　　解：根据绝对值的几何意义，本题是求到点-2、1、3的距离之和最小的值.让点在数轴上从左到右运动，当运动到-2和3之间时，点到-2、3的距离和为定值5，运动到1时，到1的距离为0，此时原式的值最小，即当x=1时，最小值为5. 　　观察发现，该式含有3个绝对值符号，要求该式子的最小值，若采用去绝对值符号进行讨论，则会很烦琐，而结合数轴、借助绝对值的几何意义来求解则更清楚直观，往往能达到出奇制胜的效果. 　　四、借助线形示意图，帮助学生建立方程模型 　　1.线段图 　　【例8】某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个，小组成员共有多少名？他们计划做多少个“中国结”？ 　　某同学解：设小组成员有x名，根据题意，得5x+9=4x-15，他的解答是否正确呢？ 　　下面我们借助线段图： 　　由线段图，可以清楚地发现各自与计划个数的关系，5x-9=计划个数，4x+15=计划个数，易得方程5x-9=4x+15，那么“该同学的解答是错的”就一目了然了. 　　2.圆形图 　　【例9】将一批资料录入电脑，甲单独做需18h完成，乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙两人合做了多少时间？ 　　思考1：如果把全部工作量看作1，设甲、乙两人合做的时间是x小时，那么可以画出圆形图： 　　由图9可得方程：118×8+x=1 　　；由图10可得方程：118+112x=1. 　　通过不同的“形”找到存在的各种“数”的关系，形数对照，使学生对知识有更深刻的理解. 　　五、借助函数图像，轻松解决生活中的代数问题 　　【例10】A、B两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动，两