第4讲高阶导数.pptVIP

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（1） 第四讲 高阶导数 第四节 高阶导数 一. 高阶导数的概念 高阶导数的运算法则 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数 一. 高阶导数的概念 例 推而广之: 按照一阶导数的极限形式, 有 和 一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连 续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导 数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为 如果 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存 在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为 ………………………… 解 例1 注意, 当 k = n 时 综上所述： 解 例2 多项式 的高阶导数. ……………… 解 例3 对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 . 求 y = ex 的各阶导数. 解 y = ex 的任何阶导数仍为 ex 例4 求 y = ax 的各阶导数. 解 运用数学归纳法可得 例5 求 y = lnx 的各阶导数. 解 设 例6 类似地, 有 则 故由数学归纳法得 解 注意这里的方法 例7 即 类似地, 有 解 看出结论没有？ 例8 运用数学归纳法可以证得 类似地 , 可求得 解 例9 解 二阶导数经常遇到, 一定要掌握. 例10 解 由复合函数及反函数的求导法则, 得 例11 解 例12 高阶导数的运算法则 设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 则 (1) (2) 莱布尼兹公式 两个基本公式 由于 故 解 例13 解 由莱布尼兹公式 例14 证 看出一点什么没有？ 你打算怎么处理此式？ 例15 对上式关于 x 求导 n 次： 故 即 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数 原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导. *